問題185は、与えられた円と直線の共有点の個数を求める問題です。具体的には、以下の3つの組み合わせについて共有点の個数を求めます。 (1) 円：$x^2 + y^2 = 10$、直線：$3x + y = 5$ (2) 円：$x^2 + y^2 = 8$、直線：$x-…=0$ (直線が途中までしか読み取れません。) (3) 円：$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$、直線：$7x + y - 5 = 0$ ここでは、(1)と(3)について解きます。

## 問題185の解

1. 問題の内容

問題185は、与えられた円と直線の共有点の個数を求める問題です。具体的には、以下の3つの組み合わせについて共有点の個数を求めます。

(1) 円：$x^2 + y^2 = 10$、直線：$3x + y = 5$

(2) 円：$x^2 + y^2 = 8$、直線：$x-…=0$ (直線が途中までしか読み取れません。)

(3) 円：$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$、直線：$7x + y - 5 = 0$

ここでは、(1)と(3)について解きます。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入し、得られた2次方程式の判別式を利用します。

判別式$D$が正であれば共有点は2個、$D = 0$であれば共有点は1個（接する）、$D$が負であれば共有点は0個となります。

(1) $x^2 + y^2 = 10$ と $3x + y = 5$ の場合：

まず、$y$について解きます。

$y = 5 - 3x$

次に、$x^2 + y^2 = 10$に代入します。

$x^2 + (5 - 3x)^2 = 10$

$x^2 + 25 - 30x + 9x^2 = 10$

$10x^2 - 30x + 15 = 0$

$2x^2 - 6x + 3 = 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12$

$D > 0$ なので、共有点は2個です。

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$ と $7x + y - 5 = 0$ の場合：

まず、$y$について解きます。

$y = 5 - 7x$

次に、$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$に代入します。

$x^2 + (5 - 7x)^2 + 2x - 4(5 - 7x) + 3 = 0$

$x^2 + 25 - 70x + 49x^2 + 2x - 20 + 28x + 3 = 0$

$50x^2 - 40x + 8 = 0$

$25x^2 - 20x + 4 = 0$

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-20)^2 - 4(25)(4) = 400 - 400 = 0$

$D = 0$ なので、共有点は1個です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の個数：2個

(3) 共有点の個数：1個