円と直線の共有点の座標を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x - 1$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + 1$

1. 問題の内容

円と直線の共有点の座標を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x - 1$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + 1$

2. 解き方の手順

円と直線の共有点を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入して、得られた2次方程式を解きます。

(1)

$y = x - 1$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 + (x - 1)^2 = 1$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$

$x = 0$ のとき、$y = 0 - 1 = -1$

$x = 1$ のとき、$y = 1 - 1 = 0$

したがって、共有点の座標は $(0, -1)$ と $(1, 0)$。

(2)

$y = -x + 1$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入すると、

$x^2 + (-x + 1)^2 = 5$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 5$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2$ または $x = -1$

$x = 2$ のとき、$y = -2 + 1 = -1$

$x = -1$ のとき、$y = -(-1) + 1 = 2$

したがって、共有点の座標は $(2, -1)$ と $(-1, 2)$。

3. 最終的な答え

(1) $(0, -1)$, $(1, 0)$

(2) $(2, -1)$, $(-1, 2)$