半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + y - 6 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + y - 6 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線の距離が円の半径に等しいということです。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $r$ です。

直線 $x + y - 6 = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

で与えられます。

今回の場合は、$(x_0, y_0) = (0, 0)$、 $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$ なので、

$$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

円と直線が接するとき、この距離 $d$ が半径 $r$ に等しくなります。

したがって、$r = 3\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$r = 3\sqrt{2}$