問題は2つあります。 (6) 三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=7$, $c=5$のとき、$\cos A$ を求めよ。 (7) 三角形ABCにおいて、$c=3\sqrt{3}$, $C=120^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(6) 三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=7$, $c=5$のとき、$\cos A$ を求めよ。

(7) 三角形ABCにおいて、$c=3\sqrt{3}$, $C=120^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

(6) 余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

これから $\cos A$ を求めると

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると

$\cos A = \frac{7^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$

(7) 正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

したがって、$2R = \frac{c}{\sin C}$より、$R = \frac{c}{2 \sin C}$です。

与えられた値を代入すると

$R = \frac{3\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、

$R = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$

3. 最終的な答え

(6) $\cos A = \frac{13}{14}$

(7) $R = 3$