円の方程式 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ を極方程式で表す問題です。

1. 問題の内容

円の方程式 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ を極方程式で表す問題です。

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は以下の通りです。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

この関係を元の円の方程式に代入します。

$(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 - 2(r \sin \theta) = 0$

$r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta - 2r \sin \theta = 0$

$r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 2r \sin \theta = 0$

三角関数の恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を用いると、

$r^2 - 2r \sin \theta = 0$

$r(r - 2 \sin \theta) = 0$

よって、$r = 0$ または $r = 2 \sin \theta$ となります。

$r = 0$ は原点を表しますが、$r = 2 \sin \theta$ に $\theta = 0$ を代入すると $r = 0$ となり、原点を含んでいることがわかります。

したがって、$r = 2 \sin \theta$ が求める極方程式です。

3. 最終的な答え

$r = 2 \sin \theta$