問題は2つのパートに分かれています。 (1) $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=8$, $A=120^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積を求めます。 (2) $\triangle ABC$ において、$a=3$, $b=7$, $c=6$のとき、$\triangle ABC$の内接円の半径を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

(1) $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=8$, $A=120^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積を求めます。

(2) $\triangle ABC$ において、$a=3$, $b=7$, $c=6$のとき、$\triangle ABC$の内接円の半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で求められます。

$b=2$, $c=8$, $A=120^\circ$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 8 \times \sin 120^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

したがって、$\triangle ABC$の面積は$4\sqrt{3}$です。

(2) $\triangle ABC$の内接円の半径$r$を求めるために、まず$\triangle ABC$の面積$S$をヘロンの公式で計算します。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+7+6}{2} = 8$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8(8-3)(8-7)(8-6)} = \sqrt{8 \times 5 \times 1 \times 2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

次に、$S = rs$の関係から、$r = \frac{S}{s} = \frac{4\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

したがって、$\triangle ABC$の内接円の半径は$\frac{\sqrt{5}}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{2}$