3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、等式 $\gamma = (1-i)\alpha + i\beta$ が成り立つとき、 (1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、等式 $\gamma = (1-i)\alpha + i\beta$ が成り立つとき、

(1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\gamma = (1-i)\alpha + i\beta$ より、$\gamma - \alpha = (1-i)\alpha + i\beta - \alpha = -i\alpha + i\beta = i(\beta - \alpha)$ となる。

よって、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i(\beta - \alpha)}{\beta - \alpha} = i$

(2) (1)より、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = i$ であるから、$\gamma - \alpha = i (\beta - \alpha)$

$\arg \left( \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right) = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$

これは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させると、ベクトル $\overrightarrow{AC}$ となることを示している。

つまり、$\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ である。

$\left| \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right| = |i| = 1$

これは、$|\gamma - \alpha| = |\beta - \alpha|$、つまり、$AC = AB$ を示している。

したがって、$\triangle ABC$ は $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ の直角二等辺三角形である。

ゆえに、$\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = i$

(2) $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$, $\angle ABC = \frac{\pi}{4}$, $\angle ACB = \frac{\pi}{4}$