円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=4, CD=5, DA=8$とする。このとき、$\cos \angle BAD$を求める問題である。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=4, CD=5, DA=8$とする。このとき、$\cos \angle BAD$を求める問題である。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$である。

よって、$\cos \angle BCD = \cos (180^\circ - \angle BAD) = -\cos \angle BAD$となる。

$\angle BAD = \theta$とおくと、$\cos \angle BCD = - \cos \theta$となる。

ここで、三角形ABDと三角形BCDに余弦定理を適用し、線分BDの長さをそれぞれ$\theta$を用いて表す。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \theta = 2^2 + 8^2 - 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos \theta = 4 + 64 - 32 \cos \theta = 68 - 32 \cos \theta$

よって、

$BD^2 = 68 - 32 \cos \theta$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-\cos \theta) = 16 + 25 + 40 \cos \theta = 41 + 40 \cos \theta$

よって、

$BD^2 = 41 + 40 \cos \theta$

したがって、

$68 - 32 \cos \theta = 41 + 40 \cos \theta$

$68 - 41 = 40 \cos \theta + 32 \cos \theta$

$27 = 72 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{27}{72} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BAD = \frac{3}{8}$