2つの直線 $l: -3x - 2y + 1 = 0$ と $m: x + 5y + 9 = 0$ のなす角 $\alpha$ を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $l: -3x - 2y + 1 = 0$ と $m: x + 5y + 9 = 0$ のなす角 $\alpha$ を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。

直線 $l: -3x - 2y + 1 = 0$ を $y$ について解くと、

$2y = -3x + 1$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

したがって、直線 $l$ の傾きは $m_l = -\frac{3}{2}$ です。

直線 $m: x + 5y + 9 = 0$ を $y$ について解くと、

$5y = -x - 9$

$y = -\frac{1}{5}x - \frac{9}{5}$

したがって、直線 $m$ の傾きは $m_m = -\frac{1}{5}$ です。

2つの直線のなす角を $\alpha$ とすると、

$\tan \alpha = \left| \frac{m_l - m_m}{1 + m_l m_m} \right|$

$\tan \alpha = \left| \frac{-\frac{3}{2} - (-\frac{1}{5})}{1 + (-\frac{3}{2})(-\frac{1}{5})} \right|$

$\tan \alpha = \left| \frac{-\frac{3}{2} + \frac{1}{5}}{1 + \frac{3}{10}} \right|$

$\tan \alpha = \left| \frac{-\frac{15}{10} + \frac{2}{10}}{\frac{10}{10} + \frac{3}{10}} \right|$

$\tan \alpha = \left| \frac{-\frac{13}{10}}{\frac{13}{10}} \right|$

$\tan \alpha = |-1|$

$\tan \alpha = 1$

$\alpha = 45^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 45^\circ$