与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 2点A(2, 0), B(0, -6)に対して、$AP = BP$を満たす点Pの軌跡を求めます。 (2) 点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 2点A(2, 0), B(0, -6)に対して、$AP = BP$を満たす点Pの軌跡を求めます。

(2) 点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とします。

$AP = BP$より、$AP^2 = BP^2$です。

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 0)^2 + (y - (-6))^2 = x^2 + (y + 6)^2$

よって、

$(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 6)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 12y + 36$

$-4x + 4 = 12y + 36$

$-4x - 12y = 32$

$x + 3y = -8$

$x + 3y + 8 = 0$

これが点Pの軌跡の方程式です。

(2) 点Pの座標を(x, y)とします。

$AP:BP = 1:3$より、$3AP = BP$

$9AP^2 = BP^2$

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x + 1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x - 3)^2 + y^2$

よって、

$9((x + 1)^2 + y^2) = (x - 3)^2 + y^2$

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

これは中心が$(-\frac{3}{2}, 0)$、半径が$\frac{3}{2}$の円の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) $x + 3y + 8 = 0$

(2) $(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$