直線 $l: (k+1)x - y - 3k - 6 = 0$ と連立不等式 $x^2 + y^2 \le 4$, $y \le x$ で表される領域 $D$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ が $k$ の値によらず常に通る定点の座標を求めます。 (2) 領域 $D$ を図示します。 (3) 直線 $l$ と領域 $D$ が共有点を持つときの $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: (k+1)x - y - 3k - 6 = 0$ と連立不等式 $x^2 + y^2 \le 4$, $y \le x$ で表される領域 $D$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ が $k$ の値によらず常に通る定点の座標を求めます。

(2) 領域 $D$ を図示します。

(3) 直線 $l$ と領域 $D$ が共有点を持つときの $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を $k$ について整理します。

$(k+1)x - y - 3k - 6 = 0$ を変形すると、

$kx + x - y - 3k - 6 = 0$

$k(x-3) + (x-y-6) = 0$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、

$x-3 = 0$ かつ $x-y-6 = 0$ である必要があります。

$x-3 = 0$ より $x = 3$ です。

$x-y-6 = 0$ に $x = 3$ を代入すると、

$3-y-6 = 0$

$-y-3 = 0$

$y = -3$

したがって、直線 $l$ は常に点 $(3, -3)$ を通ります。

(2) 領域 $D$ は、$x^2 + y^2 \le 4$ (円 $x^2 + y^2 = 4$ の内部) と $y \le x$ (直線 $y = x$ の下側) の両方を満たす領域です。円の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $2$ です。

(3) 直線 $l: (k+1)x - y - 3k - 6 = 0$ を変形すると、

$y = (k+1)x - 3k - 6$

$l$ は点 $(3, -3)$ を通るので、この点と領域 $D$ が共有点を持つかどうかを考える。

領域 $D$ の境界である円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x$ の交点を求めます。

$x^2 + x^2 = 4$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$y = x$ なので、交点は $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ と $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ です。

直線 $l$ が点 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ を通る場合、

$\sqrt{2} = (k+1)\sqrt{2} - 3k - 6$

$\sqrt{2} = k\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3k - 6$

$0 = k\sqrt{2} - 3k - 6$

$k(3-\sqrt{2}) = -6$

$k = \frac{-6}{3-\sqrt{2}} = \frac{-6(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{-6(3+\sqrt{2})}{9-2} = \frac{-6(3+\sqrt{2})}{7}$

直線 $l$ が点 $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ を通る場合、

$-\sqrt{2} = (k+1)(-\sqrt{2}) - 3k - 6$

$-\sqrt{2} = -k\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3k - 6$

$0 = -k\sqrt{2} - 3k - 6$

$k(3+\sqrt{2}) = -6$

$k = \frac{-6}{3+\sqrt{2}} = \frac{-6(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{-6(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{-6(3-\sqrt{2})}{7}$

$y = x$の傾きは $1$ なので、 $k+1=1$ つまり$k=0$の場合、直線$l$ は $y = x - 6$ となり、領域 $D$ と共有点を持たない。

直線が円の中心を通るときを考える。

$0 = (k+1)0 - 3k - 6$

$0 = -3k - 6$

$k = -2$

円 $x^2+y^2=4$ 上の点 $(x,y)$ と直線 $(k+1)x-y-3k-6=0$ の距離が0となるkの範囲を考える。

領域 D の条件から，$x \le \sqrt{2}$かつ$y \le \sqrt{2}$を満たすことに注意する。

最終的に、$\frac{-6(3+\sqrt{2})}{7} \le k \le \frac{-6(3-\sqrt{2})}{7}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(3, -3)$

(2) 図示は省略 (半径2の円 $x^2+y^2 \le 4$ と $y \le x$ の共通部分)

(3) $\frac{-6(3+\sqrt{2})}{7} \le k \le \frac{-6(3-\sqrt{2})}{7}$