$xy$平面上において、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の外にある点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ から円 $C$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上において、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ の外にある点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ から円 $C$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $C: x^2 + y^2 = 1$ 上の接点を $(x_1, y_1)$ とします。円の接線の公式より、点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は

$x_1x + y_1y = 1$

となります。

この接線が点 $A(\frac{3\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$ を通るので、

$x_1(\frac{3\sqrt{5}}{5}) + y_1(-\frac{\sqrt{5}}{5}) = 1$

$\frac{3\sqrt{5}}{5}x_1 - \frac{\sqrt{5}}{5}y_1 = 1$

$3\sqrt{5}x_1 - \sqrt{5}y_1 = 5$

$3x_1 - y_1 = \sqrt{5}$

$y_1 = 3x_1 - \sqrt{5}$

また、点 $(x_1, y_1)$ は円 $C$ 上の点なので、

$x_1^2 + y_1^2 = 1$

ここに $y_1 = 3x_1 - \sqrt{5}$ を代入すると、

$x_1^2 + (3x_1 - \sqrt{5})^2 = 1$

$x_1^2 + 9x_1^2 - 6\sqrt{5}x_1 + 5 = 1$

$10x_1^2 - 6\sqrt{5}x_1 + 4 = 0$

$5x_1^2 - 3\sqrt{5}x_1 + 2 = 0$

この二次方程式を解くと、

$x_1 = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 4(5)(2)}}{2(5)} = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{45 - 40}}{10} = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{5}}{10}$

よって、$x_1 = \frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ または $x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$y_1 = 3x_1 - \sqrt{5} = 3(\frac{2\sqrt{5}}{5}) - \sqrt{5} = \frac{6\sqrt{5}}{5} - \frac{5\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$x_1 = \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$y_1 = 3x_1 - \sqrt{5} = 3(\frac{\sqrt{5}}{5}) - \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5} - \frac{5\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって、接点は $(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ と $(\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$ となります。

それぞれの接線の方程式は、

$\frac{2\sqrt{5}}{5}x + \frac{\sqrt{5}}{5}y = 1$ より $2\sqrt{5}x + \sqrt{5}y = 5$, つまり $2x + y = \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{5}x - \frac{2\sqrt{5}}{5}y = 1$ より $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y = 5$, つまり $x - 2y = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2x + y = \sqrt{5}$

$x - 2y = \sqrt{5}$