平面上に、$n$ 個の円があり、どの2個も異なる2点で交わり、どの3個も1点で交わらないとき、平面がいくつの領域に分割されるかを考える問題です。$n$ 個の円によって平面が $b_n$ 個の領域に分割されるとします。$(n+1)$ 個目の円 $C_{n+1}$ を追加したときに、領域の個数がどのように変化するかを考え、最終的に領域の個数 $b_n$ を求めることが目的です。

1. 問題の内容

平面上に、$n$ 個の円があり、どの2個も異なる2点で交わり、どの3個も1点で交わらないとき、平面がいくつの領域に分割されるかを考える問題です。$n$ 個の円によって平面が $b_n$ 個の領域に分割されるとします。$(n+1)$ 個目の円 $C_{n+1}$ を追加したときに、領域の個数がどのように変化するかを考え、最終的に領域の個数 $b_n$ を求めることが目的です。

2. 解き方の手順

まず、$(n+1)$ 個目の円 $C_{n+1}$ は、$n$ 個の円と2点ずつ交わるので、$2n$ 個の交点を持ちます。これらの交点は円 $C_{n+1}$ を $2n$ 個の弧に分割します。

したがって、コ に入るのは $2n$ です。

次に、$C_{n+1}$ の各弧は、すでに分割されていた領域を2つに分割するので、領域の個数は各弧ごとに1つずつ増えます。したがって、領域は $2n$ 個増えます。

よって、サ に入るのは 1 です。

したがって、漸化式は $b_{n+1} = b_n + 2n$ となります。

この漸化式を解くために、$b_1 = 2$ であることを利用します（1つの円で平面は2つの領域に分割される）。

$b_{n+1} - b_n = 2n$

$b_n - b_{n-1} = 2(n-1)$

...

$b_2 - b_1 = 2(1)$

これらの式を足し合わせると、

$b_{n+1} - b_1 = 2(1 + 2 + ... + n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

したがって、$b_{n+1} = b_1 + n(n+1) = 2 + n(n+1) = n^2 + n + 2$

$b_n = (n-1)^2 + (n-1) + 2 = n^2 - 2n + 1 + n - 1 + 2 = n^2 - n + 2$

3. 最終的な答え

コ: 4 ($2n$)

サ: 1

シ: 1 ($n^2 + n + 2$)