点$(-1, 2)$を通り、与えられた直線に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める問題です。直線は2つ与えられています。 (1) $y = -2x + 1$ (2) $2x - 3y - 5 = 0$

1. 問題の内容

点$(-1, 2)$を通り、与えられた直線に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める問題です。直線は2つ与えられています。

(1) $y = -2x + 1$

(2) $2x - 3y - 5 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x + 1$

平行な直線：

与えられた直線の傾きは$-2$です。したがって、平行な直線の傾きも$-2$です。点$(-1, 2)$を通る傾き$-2$の直線の方程式は、

$y - 2 = -2(x - (-1))$

$y - 2 = -2(x + 1)$

$y - 2 = -2x - 2$

$y = -2x$

垂直な直線：

与えられた直線の傾きは$-2$です。したがって、垂直な直線の傾きは$\frac{1}{2}$です。点$(-1, 2)$を通る傾き$\frac{1}{2}$の直線の方程式は、

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = \frac{1}{2}(x + 1)$

$y - 2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

(2) $2x - 3y - 5 = 0$

まず、与えられた直線の方程式を$y = mx + c$の形に変形します。

$3y = 2x - 5$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$

したがって、与えられた直線の傾きは$\frac{2}{3}$です。

平行な直線：

平行な直線の傾きも$\frac{2}{3}$です。点$(-1, 2)$を通る傾き$\frac{2}{3}$の直線の方程式は、

$y - 2 = \frac{2}{3}(x - (-1))$

$y - 2 = \frac{2}{3}(x + 1)$

$y - 2 = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$

垂直な直線：

垂直な直線の傾きは$-\frac{3}{2}$です。点$(-1, 2)$を通る傾き$-\frac{3}{2}$の直線の方程式は、

$y - 2 = -\frac{3}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{3}{2}(x + 1)$

$y - 2 = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

平行な直線：$y = -2x$

垂直な直線：$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

(2)

平行な直線：$y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$

垂直な直線：$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$