与えられた8つの直線の中から、互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせを答える。

1. 問題の内容

与えられた8つの直線の中から、互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせを答える。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の方程式を $y = mx + b$ の形に変形し、傾き $m$ を求めます。平行な直線は傾きが等しく、垂直な直線は傾きの積が $-1$ になります。

1. $y = 4x + 3$ 傾きは $4$

2. $4x + y - 3 = 0$ より $y = -4x + 3$ 傾きは $-4$

3. $12x - 4y + 1 = 0$ より $4y = 12x + 1$ よって $y = 3x + \frac{1}{4}$ 傾きは $3$

4. $y = -x$ 傾きは $-1$

5. $y = 3x$ 傾きは $3$

6. $3x + 3y = 2$ より $3y = -3x + 2$ よって $y = -x + \frac{2}{3}$ 傾きは $-1$

7. $3x - 12y = 7$ より $12y = 3x - 7$ よって $y = \frac{1}{4}x - \frac{7}{12}$ 傾きは $\frac{1}{4}$

8. $4x - 4y + 1 = 0$ より $4y = 4x + 1$ よって $y = x + \frac{1}{4}$ 傾きは $1$

次に、傾きを比較して、平行な直線と垂直な直線の組み合わせを見つけます。

平行な直線：

* ③と⑤：傾きが3で等しい ($y = 3x + \frac{1}{4}$ と $y = 3x$)

* ④と⑥：傾きが-1で等しい ($y = -x$ と $y = -x + \frac{2}{3}$)

垂直な直線：

* ①と⑦：傾き $4$ と $\frac{1}{4}$の積は1ではないので垂直ではない。

* ②と⑧：傾き $-4$ と $1$の積は$-4$なので垂直ではない。

* ④と⑧：傾き $-1$ と $1$の積は$-1$なので垂直。($y = -x$ と $y = x + \frac{1}{4}$)

3. 最終的な答え

平行な直線：③と⑤、④と⑥

垂直な直線：④と⑧