問題は、 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -3$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -3$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -3$ であり、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることから、$\theta$ は第2象限の角であるとわかります。第2象限では $\cos \theta < 0$ であり、$\sin \theta > 0$ です。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、$\sin \theta = -3 \cos \theta$ となります。

三角関数の基本的な関係式

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

を利用します。

$\sin \theta = -3 \cos \theta$ を代入すると、

$(-3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$10 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\theta$ は第2象限の角であるから、$\cos \theta < 0$ なので、

$\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{10}} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$