三角形ABCにおいて、$a = 5$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 5$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用います。正弦定理は、三角形ABCにおいて、以下の関係が成り立つというものです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

この問題では、$a$, $A$, $B$ が与えられているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いて $b$ を求めることができます。

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

与えられた値を代入すると、

$b = \frac{5 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

なので、

$b = \frac{5 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$b = \frac{5\sqrt{6}}{3}$