画像の問題は以下の通りです。 11. 与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線 $l$ の方程式を求める。 12. 与えられた点を通り、与えられた直線に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。 13. 与えられた点と直線の距離を求める。

## 解答

1. 問題の内容

画像の問題は以下の通りです。

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1. 与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線 $l$ の方程式を求める。

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2. 与えられた点を通り、与えられた直線に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。

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3. 与えられた点と直線の距離を求める。

2. 解き方の手順

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1. 平行な直線の方程式

* 与えられた直線と平行な直線は、傾きが等しい。

* 傾きが $m$ で、点 $(x_0, y_0)$ を通る直線の方程式は、 $y - y_0 = m(x - x_0)$ で表される。

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2. 垂直な直線の方程式

* 与えられた直線と垂直な直線は、傾きの積が $-1$ になる。

* 傾きが $m$ の直線に垂直な直線の傾きは、 $-\frac{1}{m}$ となる。

* 傾きが $-\frac{1}{m}$ で、点 $(x_0, y_0)$ を通る直線の方程式は、$y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$ で表される。

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3. 点と直線の距離

* 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

これらの公式と手順を用いて、画像の問題を解きます。

3. 最終的な答え

ここでは、問題 11 の (1)、問題 12 の (1)、問題 13 の (1) を解くことにします。

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1. (1) 点 $(2, 5)$, $y = 2x - 3$

* 与えられた直線の傾きは $2$ である。

* 点 $(2, 5)$ を通り、傾きが $2$ の直線の方程式は、

$y - 5 = 2(x - 2)$

$y - 5 = 2x - 4$

$y = 2x + 1$

答え: $y = 2x + 1$

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2. (1) 点 $(3, -1)$, $y = 3x + 1$

* 与えられた直線の傾きは $3$ である。

* これに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ である。

* 点 $(3, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{3}x + 1$

$y = -\frac{1}{3}x$

答え: $y = -\frac{1}{3}x$

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3. (1) 点 $(2, 8)$, 直線 $4x + 3y - 12 = 0$

* 点と直線の距離の公式を用いる。

$d = \frac{|4(2) + 3(8) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|8 + 24 - 12|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{|20|}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{20}{5}$

$d = 4$

答え: $4$