点 $(-2, 5)$ を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題のうち、次の2問を解きます。

* 2(3): 点 $(-2, 5)$ を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めよ。

* 3(3): 点 $(3, 2)$ と直線 $5x - 12y = 1$ の距離を求めよ。

**問題 2(3)**

1. 問題の内容

点 $(-2, 5)$ を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを求めます。直線の方程式を $y = mx + c$ の形に変形します。

$3x + 5y + 1 = 0$

$5y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{5}x - \frac{1}{5}$

したがって、与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{5}$ です。

次に、求める直線は与えられた直線に垂直なので、傾きの積は $-1$ となります。求める直線の傾きを $m$ とすると、

$m \times (-\frac{3}{5}) = -1$

$m = \frac{5}{3}$

求める直線は点 $(-2, 5)$ を通るので、$y = \frac{5}{3}x + c$ に $x = -2$, $y = 5$ を代入して $c$ を求めます。

$5 = \frac{5}{3}(-2) + c$

$5 = -\frac{10}{3} + c$

$c = 5 + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} + \frac{10}{3} = \frac{25}{3}$

したがって、求める直線の方程式は

$y = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$

両辺に3をかけて、

$3y = 5x + 25$

$5x - 3y + 25 = 0$

が求める方程式です。

3. 最終的な答え

$5x - 3y + 25 = 0$

**問題 3(3)**

1. 問題の内容

点 $(3, 2)$ と直線 $5x - 12y = 1$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、$(x_0, y_0) = (3, 2)$ であり、$a = 5$, $b = -12$, $c = -1$ です。

したがって、

$d = \frac{|5(3) - 12(2) - 1|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$

$d = \frac{|15 - 24 - 1|}{\sqrt{25 + 144}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{169}}$

$d = \frac{10}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{13}$