## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

三角形の各辺の中点の座標が $(2, 1)$, $(-1, 4)$, $(-2, 3)$ であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。

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2. 解き方の手順

三角形の頂点を A, B, C とし、各辺の中点をそれぞれ D, E, F とします。

D = $(2, 1)$, E = $(-1, 4)$, F = $(-2, 3)$ とします。

中点連結定理を利用します。中点連結定理より、DEは辺ACに平行であり、長さはACの半分です。同様に、EFは辺ABに平行であり、FDは辺BCに平行です。

頂点Aの座標を$(x_A, y_A)$、頂点Bの座標を$(x_B, y_B)$、頂点Cの座標を$(x_C, y_C)$とします。

中点の座標の公式より、

$D = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}) = (2, 1)$

$E = (\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}) = (-1, 4)$

$F = (\frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2}) = (-2, 3)$

これらの式から、以下の連立方程式が得られます。

$x_A + x_B = 4$ (1)

$y_A + y_B = 2$ (2)

$x_B + x_C = -2$ (3)

$y_B + y_C = 8$ (4)

$x_C + x_A = -4$ (5)

$y_C + y_A = 6$ (6)

(1) + (3) + (5)より

$2(x_A + x_B + x_C) = 4 - 2 - 4 = -2$

$x_A + x_B + x_C = -1$ (7)

(7) - (3)より $x_A = -1 - (-2) = 1$

(7) - (5)より $x_B = -1 - (-4) = 3$

(7) - (1)より $x_C = -1 - 4 = -5$

(2) + (4) + (6)より

$2(y_A + y_B + y_C) = 2 + 8 + 6 = 16$

$y_A + y_B + y_C = 8$ (8)

(8) - (4)より $y_A = 8 - 8 = 0$

(8) - (6)より $y_B = 8 - 6 = 2$

(8) - (2)より $y_C = 8 - 2 = 6$

したがって、頂点の座標はA(1, 0), B(3, 2), C(-5, 6)となります。

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3. 最終的な答え

A(1, 0), B(3, 2), C(-5, 6)