3点 $(-3, 4)$, $(4, 5)$, $(1, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $(-3, 4)$, $(4, 5)$, $(1, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおきます。

この円が与えられた3点を通るので、それぞれの点を代入して3つの式を作ります。

* 点 $(-3, 4)$ を代入すると、 $(-3)^2 + 4^2 - 3a + 4b + c = 0$ より、$9 + 16 - 3a + 4b + c = 0$。整理して、

$-3a + 4b + c = -25$ ...(1)

* 点 $(4, 5)$ を代入すると、 $4^2 + 5^2 + 4a + 5b + c = 0$ より、$16 + 25 + 4a + 5b + c = 0$。整理して、

$4a + 5b + c = -41$ ...(2)

* 点 $(1, -4)$ を代入すると、 $1^2 + (-4)^2 + a - 4b + c = 0$ より、$1 + 16 + a - 4b + c = 0$。整理して、

$a - 4b + c = -17$ ...(3)

(2) - (1) より、

$4a + 5b + c - (-3a + 4b + c) = -41 - (-25)$

$7a + b = -16$ ...(4)

(3) - (1) より、

$a - 4b + c - (-3a + 4b + c) = -17 - (-25)$

$4a - 8b = 8$

$a - 2b = 2$ ...(5)

(5)より、$a = 2b + 2$。これを(4)に代入すると、

$7(2b + 2) + b = -16$

$14b + 14 + b = -16$

$15b = -30$

$b = -2$

$a = 2b + 2 = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2$

(1)に $a = -2$、$b = -2$ を代入すると、

$-3(-2) + 4(-2) + c = -25$

$6 - 8 + c = -25$

$-2 + c = -25$

$c = -23$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$。

これを標準形に変形すると、

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 - 23 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25 = 5^2$

3. 最終的な答え

円の方程式は、$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$ です。