2点A(6, -1)とB(4, 7)に対して、線分ABを以下の比に内分または外分する点の座標をそれぞれ求めます。 (1) 中点M (2) 5:3に内分する点P (3) 5:3に外分する点Q (4) 3:5に外分する点R

1. 問題の内容

2点A(6, -1)とB(4, 7)に対して、線分ABを以下の比に内分または外分する点の座標をそれぞれ求めます。

(1) 中点M

(2) 5:3に内分する点P

(3) 5:3に外分する点Q

(4) 3:5に外分する点R

2. 解き方の手順

(1) 中点Mの座標は、線分ABの中点の公式を用いて計算します。中点の公式は、2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$の中点の座標が$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$で与えられることを利用します。

$M = (\frac{6+4}{2}, \frac{-1+7}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{6}{2}) = (5, 3)$

(2) 5:3に内分する点Pの座標は、内分点の公式を用いて計算します。2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を$m:n$に内分する点の座標は$(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n})$で与えられます。

$P = (\frac{3 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{5+3}, \frac{3 \cdot (-1) + 5 \cdot 7}{5+3}) = (\frac{18+20}{8}, \frac{-3+35}{8}) = (\frac{38}{8}, \frac{32}{8}) = (\frac{19}{4}, 4)$

(3) 5:3に外分する点Qの座標は、外分点の公式を用いて計算します。2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を$m:n$に外分する点の座標は$(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n})$で与えられます。

$Q = (\frac{-3 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{5-3}, \frac{-3 \cdot (-1) + 5 \cdot 7}{5-3}) = (\frac{-18+20}{2}, \frac{3+35}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{38}{2}) = (1, 19)$

(4) 3:5に外分する点Rの座標は、外分点の公式を用いて計算します。2点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を$m:n$に外分する点の座標は$(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n})$で与えられます。

$R = (\frac{-5 \cdot 6 + 3 \cdot 4}{3-5}, \frac{-5 \cdot (-1) + 3 \cdot 7}{3-5}) = (\frac{-30+12}{-2}, \frac{5+21}{-2}) = (\frac{-18}{-2}, \frac{26}{-2}) = (9, -13)$

3. 最終的な答え

(1) M (5, 3)

(2) P ($\frac{19}{4}$, 4)

(3) Q (1, 19)

(4) R (9, -13)