点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$とする。

点Pから点Aまでの距離PAは、

$PA = \sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

点Pから点Bまでの距離PBは、

$PB = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

問題文より、$PA:PB = 2:1$なので、

$PA = 2PB$

両辺を2乗すると、

$PA^2 = 4PB^2$

それぞれの距離の2乗を代入すると、

$(x+2)^2 + y^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

展開すると、

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

移項して整理すると、

$3x^2 - 12x + 3y^2 = 0$

両辺を3で割ると、

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

平方完成すると、

$(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4$

$(x - 2)^2 + y^2 = 2^2$

これは、中心(2, 0)、半径2の円を表す。

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

中心(2, 0)、半径2の円