正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求めます。 (1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数

1. 問題の内容

正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求めます。

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3つの頂点を選ぶことで三角形が1つ決まります。したがって、7つの頂点から3つを選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_7C_3$ で表されます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) 正七角形の頂点から2つの頂点を選ぶと、線分が決まります。この線分が対角線であるためには、隣り合う頂点を選んではいけません。 まず7つの頂点から2つを選ぶ組み合わせの総数は $_7C_2$ です。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

正七角形の辺の数は7なので、対角線の数は、2つの頂点の選び方の総数から辺の数を引いたものです。したがって、対角線の数は $21 - 7 = 14$ 本です。あるいは、一般に$n$角形の対角線の数は $\frac{n(n-3)}{2}$ であり、$n=7$のとき、 $\frac{7(7-3)}{2}=\frac{7 \times 4}{2}=14$

3. 最終的な答え

(1) 35

(2) 14