平面上に $n$ 本の直線と $n$ 個の円を描いたときに、平面がいくつの領域に分割されるかを求める問題です。ただし、直線と円は問題文中の条件を満たすように描きます。 $n$ 個の円によって分割された領域の個数を $c_n$ とし、$n$ 個の円に $k$ 本の直線を加えたときに分割された領域の個数を $d_k$ とします。$d_0$ と $d_n$ を求め、最終的に $c_n$ を $n$ を用いて表します。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線と $n$ 個の円を描いたときに、平面がいくつの領域に分割されるかを求める問題です。ただし、直線と円は問題文中の条件を満たすように描きます。 $n$ 個の円によって分割された領域の個数を $c_n$ とし、$n$ 個の円に $k$ 本の直線を加えたときに分割された領域の個数を $d_k$ とします。$d_0$ と $d_n$ を求め、最終的に $c_n$ を $n$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

* まず、$d_0$ を求めます。$d_0$ は $n$ 個の円だけで平面を分割した領域の個数なので、$c_n$ に等しくなります。円が $n$ 個あるとき、平面は $n^2 - n + 2$ 個の領域に分割されます。したがって、$d_0 = c_n$ です。

* 次に、$d_n$ を求めます。$d_n$ は $n$ 個の円に $n$ 本の直線を加えたときの領域の個数なので、$c_n$ に等しくなります。したがって、$d_n = c_n$ です。

* 問題文より、$c_n$ は $n$ 本の直線と $n$ 個の円によって平面を分割した領域の個数です。まず、$n$ 個の円によって平面は $n^2 - n + 2$ 個の領域に分割されます。次に、$n$ 本の直線によって追加される領域の数を考えます。$k$ 本目の直線は、それまでの $k-1$ 本の直線と $n$ 個の円と交わります。直線が円と2点で交わり、直線同士も異なる点で交わるため、$k$ 本目の直線は $2n + (k-1)$ 個の交点を持ちます。したがって、$k$ 本目の直線によって $2n + (k-1) + 1 = 2n + k$ 個の領域が追加されます。

$n$ 本の直線によって追加される領域の総数は、

$$\sum_{k=1}^{n} (2n + k) = \sum_{k=1}^{n} 2n + \sum_{k=1}^{n} k = 2n^2 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{4n^2 + n^2 + n}{2} = \frac{5n^2 + n}{2}$$

よって、$n$ 本の直線と $n$ 個の円によって平面が分割される領域の個数は、

$$c_n = n^2 - n + 2 + \frac{5n^2 + n}{2} = \frac{2n^2 - 2n + 4 + 5n^2 + n}{2} = \frac{7n^2 - n + 4}{2}$$

3. 最終的な答え

ス: ⑤

セ: ⑤

ソ: 7/2

タ: $n^2$

チ: 4/2 = 2

ツ: 2

求める領域の個数は $\frac{7}{2} n^2 - \frac{1}{2} n + 2$ である。