この問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 点 $(1, 2, -1)$ を通り、ベクトル $(2, -1, 3)$ に直交する平面の方程式を求める問題。 (2) 点 $(0, 1, 1)$ と平面 $x + y - 4z = 5$ との距離を求める問題。 (3) 2つの直線 $x = \frac{y-1}{2} = z-3$ と $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = z$ の位置関係を判定する問題。 (4) 平面 $2x + y + z - 1 = 0$ と直線 $\frac{x}{2} = y-1 = z-3$ の交点を求める問題。

1. 問題の内容

この問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 点 $(1, 2, -1)$ を通り、ベクトル $(2, -1, 3)$ に直交する平面の方程式を求める問題。

(2) 点 $(0, 1, 1)$ と平面 $x + y - 4z = 5$ との距離を求める問題。

(3) 2つの直線 $x = \frac{y-1}{2} = z-3$ と $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = z$ の位置関係を判定する問題。

(4) 平面 $2x + y + z - 1 = 0$ と直線 $\frac{x}{2} = y-1 = z-3$ の交点を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

平面の方程式は、$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ で表されます。ここで、$(a, b, c)$ は法線ベクトル、$(x_0, y_0, z_0)$ は平面上の点です。この問題では、法線ベクトルが $(2, -1, 3)$、点が $(1, 2, -1)$ なので、平面の方程式は次のようになります。

$2(x - 1) - (y - 2) + 3(z + 1) = 0$

これを整理すると、

$2x - 2 - y + 2 + 3z + 3 = 0$

$2x - y + 3z + 3 = 0$

(2)

点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離 $D$ は、次の式で求められます。

$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

この問題では、点 $(0, 1, 1)$、平面 $x + y - 4z - 5 = 0$ なので、

$D = \frac{|0 + 1 - 4 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{18}} = \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3)

直線 $x = \frac{y-1}{2} = z-3$ は、$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ と書けるので、方向ベクトルは $(1, 2, 1)$ です。

直線 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = z$ は、$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{1}$ と書けるので、方向ベクトルは $(2, 2, 1)$ です。

方向ベクトルが平行ではないので、2つの直線は平行ではありません。

直線上の点 $(0, 1, 3)$ と $(1, 2, 0)$ をそれぞれ選び、方向ベクトルと共に並行六面体の体積を求めます。

ベクトルはそれぞれ $(1, 2, 1), (2, 2, 1), (1, 1, -3)$

体積は

$V = |(1, 2, 1) \cdot ((2, 2, 1) \times (1, 1, -3))| = |(1, 2, 1) \cdot (-7, 7, 0)| = |-7 + 14| = 7 \ne 0$

であるので、ねじれの位置にあります。

(4)

直線 $\frac{x}{2} = y-1 = z-3 = t$ とおくと、$x = 2t$, $y = t + 1$, $z = t + 3$ と表せます。

これを平面の方程式 $2x + y + z - 1 = 0$ に代入すると、

$2(2t) + (t + 1) + (t + 3) - 1 = 0$

$4t + t + 1 + t + 3 - 1 = 0$

$6t + 3 = 0$

$t = -\frac{1}{2}$

したがって、$x = 2(-\frac{1}{2}) = -1$, $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$, $z = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$

交点は $(-1, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

3. 最終的な答え

(1)

1. 2x - y + 3z + 3 = 0

(2)

2. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3)

3. ねじれの位置。

(4)

3. (-1, 1/2, 5/2)