平行六面体OABC-DEFGにおいて、OA = 4, OC = OD = 2, ∠AOC = ∠COD = ∠DOA = 60° とする。線分OAをt:(1-t)に内分する点をP、線分OCの中点をQ、線分AEの中点をRとおく。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{c}$, $\vec{c} \cdot \vec{d}$, $\vec{d} \cdot \vec{a}$ を求め、 $\overrightarrow{QR} = -\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}} \vec{a} + \frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}} \vec{c} + \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}} \vec{d}$ と表し、 $|\overrightarrow{QB}|^2$ を求める。 (2) 平面PQRと線分GFが共有点を持つためのtの条件を考える。点Mは線分GF上にあることから、$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG} + m \overrightarrow{GF}$ と表せる。点Mは平面PQR上にあることから、実数k, lを用いて $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OQ} + k \overrightarrow{QP} + l \overrightarrow{QR}$ と表せる。 これらの式から、$k$ と $l$ を求め、$t$ の条件を求める。

1. 問題の内容

平行六面体OABC-DEFGにおいて、OA = 4, OC = OD = 2, ∠AOC = ∠COD = ∠DOA = 60° とする。線分OAをt:(1-t)に内分する点をP、線分OCの中点をQ、線分AEの中点をRとおく。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{c}$, $\vec{c} \cdot \vec{d}$, $\vec{d} \cdot \vec{a}$ を求め、 $\overrightarrow{QR} = -\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}} \vec{a} + \frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}} \vec{c} + \frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}} \vec{d}$ と表し、 $|\overrightarrow{QB}|^2$ を求める。

(2) 平面PQRと線分GFが共有点を持つためのtの条件を考える。点Mは線分GF上にあることから、$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG} + m \overrightarrow{GF}$ と表せる。点Mは平面PQR上にあることから、実数k, lを用いて $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OQ} + k \overrightarrow{QP} + l \overrightarrow{QR}$ と表せる。 これらの式から、$k$ と $l$ を求め、$t$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos 60^\circ = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}| |\vec{d}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\vec{d} \cdot \vec{a} = |\vec{d}| |\vec{a}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AE} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{d}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{c} = 1 \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d}$

$\overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ} = \vec{a} + \vec{d} - \frac{1}{2} \vec{c}$

$|\overrightarrow{QB}|^2 = (\vec{a} + \vec{d} - \frac{1}{2} \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{d} - \frac{1}{2} \vec{c})$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 + \frac{1}{4} |\vec{c}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{d}$

$= 16 + 4 + \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 \cdot 4 - 4 - 2 = 16 + 4 + 1 + 8 - 4 - 2 = 23$

(2)

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG} + m \overrightarrow{GF} = \vec{d} + \vec{a} + m(\vec{a} - \vec{c}) = (1+m)\vec{a} - m \vec{c} + \vec{d}$

$\overrightarrow{OP} = t\vec{a}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = t\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{QR} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d}$

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OQ} + k\overrightarrow{QP} + l\overrightarrow{QR} = \frac{1}{2}\vec{c} + k(t\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}) + l(\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d})$

$= (kt+l)\vec{a} + (\frac{1}{2} - \frac{k}{2} - \frac{l}{2})\vec{c} + \frac{l}{2}\vec{d}$

係数比較

$1+m = kt + l$

$-m = \frac{1}{2} - \frac{k}{2} - \frac{l}{2}$

$1 = \frac{l}{2}$

よって $l = 2$

$-m = \frac{1}{2} - \frac{k}{2} - 1$

$-2m = 1 - k - 2$

$2m = k + 1$

$1 + m = kt + 2$

$m - 1 = kt$

$2m - 2 = 2kt$

$2m = 2kt + 2$

$k+1 = 2kt + 2$

$k(1 - 2t) = 1$

$k = \frac{1}{1-2t}$

$2m = \frac{1}{1-2t} + 1 = \frac{1 + 1 - 2t}{1-2t} = \frac{2 - 2t}{1-2t}$

$m = \frac{1-t}{1-2t}$

$0 \le m \le 1$ なので

$0 \le \frac{1-t}{1-2t} \le 1$

$t < \frac{1}{2}$ のとき、 $0 \le 1 - t \le 1 - 2t$。 よって、$t \le 1$ かつ $t \le 0$となり $t \le 0$。これは条件 $0 < t < 1$ に反する。

$t > \frac{1}{2}$ のとき、$0 \ge 1 - t \ge 1 - 2t$。 よって、$t \ge 1$ かつ $t \ge 0$。これは条件 $0 < t < 1$ に反する。

ただし、 $m \ge 0$ より $\frac{1-t}{1-2t} \ge 0$。よって $\frac{1}{2} < t \le 1$ 。

また、$m \le 1$ より $\frac{1-t}{1-2t} \le 1$。 よって$\frac{1-t}{1-2t} -1 = \frac{1-t - (1-2t)}{1-2t} = \frac{t}{1-2t} \le 0$。 $\frac{1}{2} < t < 1$。

このとき$\frac{t}{1-2t} \le 0$となるので、$t>1/2$のとき$1-2t < 0$でなければならないので、常に成立。

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 2$

$\vec{d} \cdot \vec{a} = 4$

$\overrightarrow{QR} = -1/2 \vec{a} - 1/2 \vec{c} + 1/2 \vec{d}$

$|\overrightarrow{QB}|^2 = 23$

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG} + m \overrightarrow{GF} = \vec{d} + \vec{a} + m(\vec{a} - \vec{c}) = (1+m)\vec{a} - m \vec{c} + \vec{d}$ よって解答群は②

$k = \frac{1}{1-2t}$

$l = 2$

$\frac{1}{2} < t \le 1$