平面上にいくつかの直線を引き、平面がいくつの領域に分割されるかを考える問題です。特に、$n$ 本の直線を引き、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないという条件のもとで、平面がいくつの領域に分割されるかを考えます。

1. 問題の内容

平面上にいくつかの直線を引き、平面がいくつの領域に分割されるかを考える問題です。特に、$n$ 本の直線を引き、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないという条件のもとで、平面がいくつの領域に分割されるかを考えます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$n=1$ のとき、直線が1本なので、平面は2つの領域に分割されます。よって、アは2です。

$n=2$ のとき、直線が2本なので、平面は4つの領域に分割されます。よって、イは4です。

$n$ 本の直線が引かれている状態から、$n+1$ 本目の直線を引くことを考えます。$n+1$ 本目の直線は、既に引かれている $n$ 本の直線と交わります。どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないという条件から、$n+1$ 本目の直線は、$n$ 本の直線と $n$ 個の交点を持ちます。

例えば、$n=4$ のとき、$l_5$ は4本の直線 $l_1, l_2, l_3, l_4$ と $4$ 個の交点を持ちます。よって、ウは4です。

$l_5$ は、$l_1, l_2, l_3, l_4$ によって、$5$ 個の線分あるいは半直線に分割されます。よって、エは5です。

$l_5$ を引くことにより領域は、$5$ 個増えます。よって、オは5です。

同様に考えると、$l_{n+1}$ は $n$ 本の直線によって $n+1$ 個の線分あるいは半直線に分割されます。よって、カは $n+1$ です。

これらの線分あるいは半直線は、それぞれ領域を2個ずつ増やします。よって、キは 2 です。

したがって、$a_{n+1} = a_n + (n+1) \times 1$ が成り立ちます。

$a_{n+1} = a_n + (n+1)$ より、$n+1$ は数列 $\{a_n\}$ の階差数列である。よって、クは 2 (階差) です。

$a_1 = 2$ であることを考慮すると、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 2 + \frac{n^2-n}{2} + \frac{2n-2}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$。よって、ケは $\frac{1}{2}(n^2+n+4)$ です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 4

エ: 5

オ: 5

カ: ② $n+1$

キ: 1

ク: ② 階差

ケ: ⑦ $\frac{1}{2}(n^2+n+4)$