方程式 $x^2 + 2mx + y^2 - 2(m+1)y + 3m^2 - 3m + 5 = 0$ が円を表すとき、$m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + 2mx + y^2 - 2(m+1)y + 3m^2 - 3m + 5 = 0$ が円を表すとき、$m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形します。

まず、$x$ と $y$ について平方完成を行います。

$$(x^2 + 2mx) + (y^2 - 2(m+1)y) + 3m^2 - 3m + 5 = 0$$

$$(x + m)^2 - m^2 + (y - (m+1))^2 - (m+1)^2 + 3m^2 - 3m + 5 = 0$$

$$(x + m)^2 + (y - (m+1))^2 = m^2 + (m+1)^2 - 3m^2 + 3m - 5$$

$$(x + m)^2 + (y - (m+1))^2 = m^2 + m^2 + 2m + 1 - 3m^2 + 3m - 5$$

$$(x + m)^2 + (y - (m+1))^2 = -m^2 + 5m - 4$$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要があります。

したがって、$r^2 = -m^2 + 5m - 4 > 0$ でなければなりません。

$-m^2 + 5m - 4 > 0$

$m^2 - 5m + 4 < 0$

$(m-1)(m-4) < 0$

$1 < m < 4$

3. 最終的な答え

$1 < m < 4$