直線 $y = \frac{1}{2}x$ に関して点 A(2, 8) と対称な点 B の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{2}x$ に関して点 A(2, 8) と対称な点 B の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 B の座標を (x, y) とする。

(1) 線分 AB の中点は、直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にある。線分 AB の中点を M とすると、M の座標は $(\frac{x+2}{2}, \frac{y+8}{2})$ である。

M が直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にあるので、

$\frac{y+8}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+2}{2}$

$y+8 = \frac{1}{2}(x+2)$

$2y + 16 = x + 2$

$x - 2y = 14$ ...(1)

(2) 線分 AB は、直線 $y = \frac{1}{2}x$ と垂直に交わる。直線 $y = \frac{1}{2}x$ の傾きは $\frac{1}{2}$ である。

線分 AB の傾きは $\frac{y-8}{x-2}$ である。

2 つの直線が垂直に交わる条件は、それぞれの傾きの積が -1 であることなので、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y-8}{x-2} = -1$

$y - 8 = -2(x - 2)$

$y - 8 = -2x + 4$

$2x + y = 12$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

$x - 2y = 14$ ...(1)

$2x + y = 12$ ...(2)

(2)より $y = 12 - 2x$。これを(1)に代入すると、

$x - 2(12 - 2x) = 14$

$x - 24 + 4x = 14$

$5x = 38$

$x = \frac{38}{5}$

$y = 12 - 2 \cdot \frac{38}{5} = 12 - \frac{76}{5} = \frac{60 - 76}{5} = -\frac{16}{5}$

したがって、点 B の座標は $(\frac{38}{5}, -\frac{16}{5})$ である。

3. 最終的な答え

$(\frac{38}{5}, -\frac{16}{5})$