3点 $A(1, 2)$, $B(3, p)$, $C(-p, 0)$ が一直線上にあるとき、$p$ の値を求めよ。$p = - \frac{7}{\boxed{}}$ の形式で答える。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 2)$, $B(3, p)$, $C(-p, 0)$ が一直線上にあるとき、$p$ の値を求めよ。$p = - \frac{7}{\boxed{}}$ の形式で答える。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にある条件は、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が平行であることである。つまり、$\vec{AB} = k \vec{AC}$ となる実数 $k$ が存在することである。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = (3-1, p-2) = (2, p-2)$

$\vec{AC} = (-p-1, 0-2) = (-p-1, -2)$

$\vec{AB} = k \vec{AC}$ より、

$(2, p-2) = k(-p-1, -2)$

この式は以下の2つの式に分解できる。

$2 = k(-p-1)$ ...(1)

$p-2 = -2k$ ...(2)

(1)式より $k = \frac{2}{-p-1}$

(2)式に代入して

$p-2 = -2 \cdot \frac{2}{-p-1} = \frac{4}{p+1}$

$(p-2)(p+1) = 4$

$p^2 - p - 2 = 4$

$p^2 - p - 6 = 0$

$(p-3)(p+2) = 0$

$p = 3$ または $p = -2$

$p = 3$ のとき、 $k = \frac{2}{-3-1} = -\frac{1}{2}$

$p = -2$ のとき、 $k = \frac{2}{2-1} = 2$

問題文の形式に合わせて、$p = - \frac{7}{x}$ の形式にする。

$p=3$のとき、これは当てはまらない。

$p=-2$のとき、これは当てはまらない。

ここで、ベクトル$\vec{BA}$と$\vec{BC}$が平行であることを考える。

$\vec{BA} = (1-3, 2-p) = (-2, 2-p)$

$\vec{BC} = (-p-3, 0-p) = (-p-3, -p)$

$\vec{BA} = k\vec{BC}$とおくと

$-2 = k(-p-3)$

$2-p = k(-p)$

$k = \frac{-2}{-p-3} = \frac{2}{p+3}$

$2-p = \frac{2}{p+3}(-p) = \frac{-2p}{p+3}$

$(2-p)(p+3) = -2p$

$2p+6-p^2-3p = -2p$

$-p^2 -p+6 = -2p$

$p^2-p-6 =0$

$(p-3)(p+2) = 0$

$p = 3$または$p = -2$

点Aと点Cの傾きを計算する

$\frac{2-0}{1-(-p)} = \frac{2}{1+p}$

点Aと点Bの傾きを計算する

$\frac{2-p}{1-3} = \frac{2-p}{-2}$

2つの傾きは等しいので

$\frac{2}{1+p} = \frac{2-p}{-2}$

$-4 = (1+p)(2-p) = 2-p+2p-p^2$

$p^2-p-6 =0$

$(p-3)(p+2)=0$

$p=3$のとき、$\frac{2}{1+3} = \frac{1}{2}$, $\frac{2-3}{-2} = \frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$

$p=-2$のとき、$\frac{2}{1-2} = -2$, $\frac{2-(-2)}{-2} = \frac{4}{-2}=-2$

$p=3$とすると、$A(1,2), B(3,3), C(-3,0)$

$p=-2$とすると、$A(1,2), B(3,-2), C(2,0)$

$p=-\frac{7}{x}$の形にする。$p=3$のとき，$x = -\frac{7}{3}$.

$p=-2$のとき，$x = \frac{7}{2}$.

整数を求めたいので、違う解法を探す。

$A(1,2)$, $C(-p,0)$を通る直線の方程式は、

$y-0 = \frac{2-0}{1-(-p)}(x-(-p))$

$y = \frac{2}{1+p}(x+p)$

この直線は$B(3,p)$を通るので、

$p = \frac{2}{1+p}(3+p)$

$p(1+p) = 2(3+p)$

$p+p^2 = 6+2p$

$p^2-p-6 = 0$

$(p-3)(p+2)=0$

$p=3, -2$

3. 最終的な答え

$p=-\frac{7}{-7/3} = 3$

$p=-\frac{7}{7/2} = -2$

問題文の形式から、$p = -\frac{7}{x}$ で表せるような、分母が整数になるものを探していると思われる。

$p=3$とすると、$3 = -\frac{7}{x}$、$x=-\frac{7}{3}$となり不適。

$p=-2$とすると、$-2 = -\frac{7}{x}$、$x = \frac{7}{2}$となり不適。

計算ミスの可能性があるので、再度確認する。

もし問題文に誤りがあるなら、正確に問題文を書き出す必要がある。

問題文が正しいなら、p=-2または3となり、式に合う整数は存在しない。

```

p=-2またはp=3

```

この問題の形式に合う解が存在しない可能性が高いです。

問題に誤りがないか確認させてください。

最終的な答え：空欄に当てはまる整数はない