座標平面上に点A(1, 3)と円$K_1: x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0$がある。円$K_1$と半径が等しく、原点Oを中心とする円を$K_2$とする。 (1) 円$K_2$の方程式を求める。 (2) 点Aから円$K_2$に引いた2本の接線と円$K_2$の接点B, Cの座標を求める。ただし、点Bのy座標は点Cのy座標より大きいとする。 (3) (2)のとき、直線BCの方程式を求め、円$K_1$と中心が同じ円で、直線BCから切り取る線分の長さが$2\sqrt{2}$になる円を$K_3$とする。点Pが円$K_3$の周上を動くとき、線分APの長さの最大値を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

座標平面上に点A(1, 3)と円$K_1: x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0$がある。円$K_1$と半径が等しく、原点Oを中心とする円を$K_2$とする。

(1) 円$K_2$の方程式を求める。

(2) 点Aから円$K_2$に引いた2本の接線と円$K_2$の接点B, Cの座標を求める。ただし、点Bのy座標は点Cのy座標より大きいとする。

(3) (2)のとき、直線BCの方程式を求め、円$K_1$と中心が同じ円で、直線BCから切り取る線分の長さが$2\sqrt{2}$になる円を$K_3$とする。点Pが円$K_3$の周上を動くとき、線分APの長さの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円$K_1$の方程式を平方完成する。

$x^2 + 4x + y^2 + 2y = 0$

$(x+2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 = 0$

$(x+2)^2 + (y+1)^2 = 5$

したがって、円$K_1$の中心は(-2, -1), 半径は$\sqrt{5}$である。

円$K_2$は原点Oを中心とし、半径が$\sqrt{5}$であるから、その方程式は

$x^2 + y^2 = 5$

(2) 接点B, Cの座標を$(x_0, y_0)$とすると、接線の方程式は$x_0x + y_0y = 5$である。

この直線が点A(1, 3)を通るので、

$x_0 + 3y_0 = 5$

$x_0 = 5 - 3y_0$

点$(x_0, y_0)$は円$K_2$上にあるので、

$x_0^2 + y_0^2 = 5$

$(5 - 3y_0)^2 + y_0^2 = 5$

$25 - 30y_0 + 9y_0^2 + y_0^2 = 5$

$10y_0^2 - 30y_0 + 20 = 0$

$y_0^2 - 3y_0 + 2 = 0$

$(y_0 - 1)(y_0 - 2) = 0$

$y_0 = 1, 2$

$y_0 = 1$のとき、$x_0 = 5 - 3(1) = 2$

$y_0 = 2$のとき、$x_0 = 5 - 3(2) = -1$

したがって、接点B, Cの座標は(2, 1), (-1, 2)である。

点Bのy座標が点Cのy座標より大きいので、B(-1, 2), C(2, 1)

(3) 直線BCの方程式を求める。

傾きは$\frac{1-2}{2-(-1)} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

y - 2 = $-\frac{1}{3}$(x + 1)

3y - 6 = -x - 1

x + 3y - 5 = 0

直線BCの方程式は、$x + 3y - 5 = 0$

円$K_1$の中心は(-2, -1)である。点(-2, -1)と直線$x + 3y - 5 = 0$の距離をdとする。

$d = \frac{|-2 + 3(-1) - 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

円$K_3$は円$K_1$と中心が同じなので、中心は(-2, -1)である。

円$K_3$の半径をrとすると、直線BCから切り取る線分の長さが$2\sqrt{2}$であるから、

$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{10})^2 = r^2$

$2 + 10 = r^2$

$r^2 = 12$

$r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

円$K_3$の方程式は、$(x+2)^2 + (y+1)^2 = 12$

点Pが円$K_3$の周上を動くとき、線分APの長さの最大値を求める。

APの長さが最大になるのは、点P, 円$K_3$の中心(-2, -1), 点A(1, 3)が一直線上に並ぶときである。

点A(1, 3)と円$K_3$の中心(-2, -1)の距離は、

$\sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

APの長さの最大値は、5 + 円$K_3$の半径 = $5 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 5$

(2) B(-1, 2), C(2, 1)

(3) 直線BCの方程式: $x + 3y - 5 = 0$, APの長さの最大値: $5 + 2\sqrt{3}$