$0 \le \theta < 2\pi$ とし、$p \ge 0$ とする。原点をOとする座標平面において、2点A, Bの座標が $A(\sin\theta + p\cos\theta, p\sin\theta - \cos\theta)$, $B(p\sin\theta + \cos\theta, \sin\theta - p\cos\theta)$ で与えられている。$p = \frac{4}{3}$ のとき、三角形OABの面積Sを求める。途中の空欄を埋めていく。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ とし、$p \ge 0$ とする。原点をOとする座標平面において、2点A, Bの座標が

$A(\sin\theta + p\cos\theta, p\sin\theta - \cos\theta)$, $B(p\sin\theta + \cos\theta, \sin\theta - p\cos\theta)$

で与えられている。$p = \frac{4}{3}$ のとき、三角形OABの面積Sを求める。途中の空欄を埋めていく。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta + \frac{4}{3}\cos\theta$と$\frac{4}{3}\sin\theta - \cos\theta$を三角関数の加法定理を用いて変形する。

$\sin\theta + \frac{4}{3}\cos\theta = \frac{5}{3} (\frac{3}{5}\sin\theta + \frac{4}{5}\cos\theta) = \frac{5}{3} \cos(\theta - \alpha)$

$\frac{4}{3}\sin\theta - \cos\theta = \frac{5}{3} (\frac{4}{5}\sin\theta - \frac{3}{5}\cos\theta) = \frac{5}{3} \sin(\theta - \alpha)$

ただし、$\alpha$は$\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $0 \le \alpha < 2\pi$を満たす実数である。よって、点Aの座標は

$A(\frac{5}{3}\cos(\theta - \alpha), \frac{5}{3}\sin(\theta - \alpha))$と表せる。

同様に、三角関数の加法定理を用いると、点Bの座標は

$B(\frac{\sqrt{25}}{3}\cos(\theta - \beta), \frac{\sqrt{25}}{3}\sin(\theta - \beta))$と表せる。ただし、$\beta$は$\sin\beta = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$, $0 \le \beta < 2\pi$

したがって、$\tan\alpha \cdot \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3/5}{4/5} \cdot \frac{4/5}{3/5} = 1$

$\tan \alpha \tan \beta = 1$であるから、$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$

$\angle AOB = |(\theta - \alpha) - (\theta - \beta)| = |\beta - \alpha| = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$

$|\beta - \alpha|=|\frac{\pi}{2} - \alpha - \alpha|=|\frac{\pi}{2} - 2\alpha|$

であるから、$\sin \angle AOB = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

以上より、$S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{25} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{9} \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{18}$

3. 最終的な答え

オ: 5

カ: 3

キ: 4

ク: 5

ケ: 3

コ: 4

サ: 5

ス: 1

セ: $\frac{\pi}{2}$

ソ: 7

タチ: 25

ツ: 7

テト: 18