座標平面上の3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標をすべて求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ を頂点とする平行四辺形の、もう1つの頂点となりうる点の座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

平行四辺形となるためには、向かい合う辺が平行で長さが等しい必要があります。

3点 $P, Q, R$ が与えられているので、残りの1つの点を $S(x, y)$ とすると、以下の3つの場合が考えられます。

(1) 四角形 $PQRS$ が平行四辺形の場合

このとき、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{PQ} = (3-1, -2-2) = (2, -4)$

$\overrightarrow{RS} = (x-4, y-1)$

よって、$x-4 = 2$ かつ $y-1 = -4$ となるので、$x = 6$ かつ $y = -3$

したがって、$S(6, -3)$ となります。

(2) 四角形 $PRQS$ が平行四辺形の場合

このとき、$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{SQ}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{PR} = (4-1, 1-2) = (3, -1)$

$\overrightarrow{SQ} = (3-x, -2-y)$

よって、$3-x = 3$ かつ $-2-y = -1$ となるので、$x = 0$ かつ $y = -1$

したがって、$S(0, -1)$ となります。

(3) 四角形 $PSQR$ が平行四辺形の場合

このとき、$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{RQ}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{RQ} = (3-4, -2-1) = (-1, -3)$

$\overrightarrow{PS} = (x-1, y-2)$

よって、$x-1 = -1$ かつ $y-2 = -3$ となるので、$x = 0$ かつ $y = -1$

したがって、$S(2, -5)$ となります。

3. 最終的な答え

$(6, -3)$, $(0, -1)$, $(2, 5)$