$y = 2x - 3$ の傾きは $m_1 = 2$ $y = \frac{x}{2} + 3$ の傾きは $m_2 = \frac{1}{2}$

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1. 問題の内容

問題2.54

(1) 2直線 $y = 2x - 3$ と $y = \frac{x}{2} + 3$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

(2) 2直線 $y = \sqrt{3}x - 3$ と $y = x + 3$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

問題2.55

(1) $x = 2t - 3$ と $y = 1 - 2t$ で表される点 P($x$, $y$) はどのような軌跡を描くか。

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2. 解き方の手順

**問題2.54 (1)**

1. それぞれの直線の傾きを求める。

$y = 2x - 3$ の傾きは $m_1 = 2$

$y = \frac{x}{2} + 3$ の傾きは $m_2 = \frac{1}{2}$

2. 2直線のなす角 $\theta$ の正接 $\tan \theta$ を求める公式を用いる。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$

3. $\theta = \arctan \frac{3}{4}$

**問題2.54 (2)**

1. それぞれの直線の傾きを求める。

$y = \sqrt{3}x - 3$ の傾きは $m_1 = \sqrt{3}$

$y = x + 3$ の傾きは $m_2 = 1$

2. 2直線のなす角 $\theta$ の正接 $\tan \theta$ を求める公式を用いる。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \right|$

3. $\tan \theta$ を有理化する。

$\tan \theta = \left| \frac{(\sqrt{3} - 1)(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} - 3 - 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3} - 4}{-2} \right| = \left| 2 - \sqrt{3} \right| = 2 - \sqrt{3}$

4. $\theta = \arctan (2 - \sqrt{3})$

$2 - \sqrt{3} = \tan 15^{\circ} = \tan \frac{\pi}{12}$ より $\theta = \frac{\pi}{12}$

**問題2.55 (1)**

1. $x = 2t - 3$ と $y = 1 - 2t$ からパラメータ $t$ を消去する。

$x = 2t - 3$ より、 $2t = x + 3$

$y = 1 - 2t$ に代入して $y = 1 - (x + 3) = -x - 2$

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3. 最終的な答え

問題2.54

(1) $\theta = \arctan \frac{3}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{12}$

問題2.55

(1) $y = -x - 2$ （直線）