問題1は、1辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCが球Sに内接しており、OA=OB=OC=2であるとき、線分AHの長さと球Sの半径を求める問題です。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとします。 問題2は、四面体OABCにおいて、OA=2√5, OB=OC=√5, BC=2√3, AB=AC, ∠AOC=120°であるとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S, OHを求める問題です。BCの中点をDとし、頂点Oから△ABCに下ろした垂線をOHとします。

1. 問題の内容

問題1は、1辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCが球Sに内接しており、OA=OB=OC=2であるとき、線分AHの長さと球Sの半径を求める問題です。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとします。

問題2は、四面体OABCにおいて、OA=2√5, OB=OC=√5, BC=2√3, AB=AC, ∠AOC=120°であるとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S, OHを求める問題です。BCの中点をDとし、頂点Oから△ABCに下ろした垂線をOHとします。

2. 解き方の手順

問題1：

正三角形ABCの中心をGとすると、AHは正三角形ABCの外接円の半径に等しくなります。正三角形の一辺の長さを $a$ とすると、外接円の半径 $R$ は $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ で求められます。したがって、$AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

次に、球Sの半径を求めます。四面体OABCにおいて、$OA=OB=OC=2$ なので、点Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは、三角形ABCの外心に一致します。また、外心を球Sの中心とすれば、球Sは四面体の各頂点を通ります。

$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$

球Sの半径Rは、OAの長さに等しいので、R=2。

問題2：

まず、△OBCにおいて、OB=OC=√5, BC=2√3なので、余弦定理より

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2OB \cdot OC \cdot \cos{\angle BOC}$

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{\angle BOC}$

$12 = 5 + 5 - 10 \cos{\angle BOC}$

$2 = -10 \cos{\angle BOC}$

$\cos{\angle BOC} = -\frac{1}{5}$

次に、△OABと△OACは合同な二等辺三角形です。△ABCにおいて、AB=ACなので、△ABCも二等辺三角形です。△OACにおいて、OA=2√5、OC=√5、∠AOC=120°なので、余弦定理より

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2OA \cdot OC \cdot \cos{\angle AOC}$

$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{120^\circ}$

$AC^2 = 20 + 5 - 20(-\frac{1}{2}) = 25 + 10 = 35$

$AC = \sqrt{35}$

BCの中点Dは、△OBCにおいて、OB=OCなので、ODは∠BOCの二等分線になります。また、BD=CD=√3です。

△OBDにおいて、OB=√5、BD=√3なので、三平方の定理より、OD=$\sqrt{OB^2 - BD^2}$

$OD = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5-3} = \sqrt{2}$

△ADCにおいて、AC=$\sqrt{35}$、CD=√3なので、三平方の定理は成り立ちません。

△OADにおいて、OA=2√5、OD=√2です。ADを求めます。

△ABCは二等辺三角形なので、中線ADはBCを垂直に二等分します。△ABDで考えると、AB=AC=$\sqrt{35}$, BD=√3より、AD=$\sqrt{AB^2 - BD^2}$

$AD = \sqrt{(\sqrt{35})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{35-3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

△OADにおいて、OA=2√5、OD=√2、AD=$4\sqrt{2}$なので、余弦定理より

$OA^2 = OD^2 + AD^2 - 2 OD \cdot AD \cdot \cos{\angle AOD}$

$(2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos{\angle AOD}$

$20 = 2 + 32 - 16 \cos{\angle AOD}$

$20 = 34 - 16 \cos{\angle AOD}$

$-14 = -16 \cos{\angle AOD}$

$\cos{\angle AOD} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

△OADの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} OD \cdot AD \cdot \sin{\angle AOD}$

$\sin^2{\angle AOD} + \cos^2{\angle AOD} = 1$ より、$\sin^2{\angle AOD} = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$

$\sin{\angle AOD} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

問題1：

AHの長さ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

球Sの半径: 2

問題2：

AC: $\sqrt{35}$

AD: $4\sqrt{2}$

cos∠AOD: $\frac{7}{8}$

△OADの面積S: $\frac{\sqrt{15}}{2}$