四面体 OABC において、OA = $2\sqrt{5}$, OB = OC = $\sqrt{5}$, BC = $2\sqrt{3}$, AB = AC, ∠AOC = 120°とし、BCの中点をDとする。このとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S, 頂点Oから△ABCに下ろした垂線の長さOHを求める問題です。

1. 問題の内容

四面体 OABC において、OA = $2\sqrt{5}$, OB = OC = $\sqrt{5}$, BC = $2\sqrt{3}$, AB = AC, ∠AOC = 120°とし、BCの中点をDとする。このとき、AC, AD, cos∠AOD, △OADの面積S, 頂点Oから△ABCに下ろした垂線の長さOHを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。△ABCはAB = ACの二等辺三角形なので、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 = OB^2 + OC^2 - 2OB \cdot OC \cdot \cos{∠BOC}$

∠BOCを求める。△OBCにおいて、OB = OC = $\sqrt{5}$, BC = $2\sqrt{3}$ より余弦定理を用いて計算する。

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{∠BOC}$

$12 = 5 + 5 - 10 \cos{∠BOC}$

$2 = -10 \cos{∠BOC}$

$\cos{∠BOC} = -\frac{1}{5}$

$AC^2 = AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{5})(-\frac{1}{5}) = 5+5+2 = 12$

$AC = AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(2) ADの長さを求める。DはBCの中点なので、BD = DC = $\sqrt{3}$。△ABDにおいて、AB = $2\sqrt{3}$, BD = $\sqrt{3}$。∠ABCを求める。

$\cos{∠ABC} = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})} = \frac{(2\sqrt{3})^2}{2(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

∠ABC = 60°

ADを求める。△ABDにおいて、余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cdot \cos{∠ABC} = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(\sqrt{3})(\frac{1}{2}) = 12 + 3 - 6 = 9$

$AD = 3$

(3) cos∠AODを求める。△AODにおいて、OA = $2\sqrt{5}$, OD = $\sqrt{5}$, AD = 3なので余弦定理より

$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2OA \cdot OD \cdot \cos{∠AOD}$

$3^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5}) \cos{∠AOD}$

$9 = 20 + 5 - 20 \cos{∠AOD}$

$-16 = -20 \cos{∠AOD}$

$\cos{∠AOD} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

(4) △AODの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} OA \cdot OD \cdot \sin{∠AOD}$

$\sin^2{∠AOD} + \cos^2{∠AOD} = 1$

$\sin^2{∠AOD} = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin{∠AOD} = \frac{3}{5}$

$S = \frac{1}{2}(2\sqrt{5})(\sqrt{5})(\frac{3}{5}) = \frac{1}{2}(10)(\frac{3}{5}) = 3$

(5) 頂点Oから△ABCに下ろした垂線をOHとする。△ABCの面積Tを求める。AB = AC = $2\sqrt{3}$, BC = $2\sqrt{3}$より正三角形。

$T = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (12) = 3\sqrt{3}$

体積Vを求める。

$V = \frac{1}{3}T \cdot OH$

△OBCにおいて、OB = OC = $\sqrt{5}$, BC = $2\sqrt{3}$であるから高さOMを求める。

$OM = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 - 3} = \sqrt{2}$

四面体OABCの体積は

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (2\sqrt{3}) \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{2}$

$OH = \frac{3V}{T} = \frac{3(2\sqrt{2})}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

AC = $2\sqrt{3}$

AD = 3

cos∠AOD = $\frac{4}{5}$

S = 3

OH = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$