$\alpha, \beta, \gamma$は鋭角であり、$\tan\alpha = 2$, $\tan\beta = 5$, $\tan\gamma = 8$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$ (2) $\alpha+\beta+\gamma$

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \gamma$は鋭角であり、$\tan\alpha = 2$, $\tan\beta = 5$, $\tan\gamma = 8$ のとき、以下の値を求める。

(1) $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$

(2) $\alpha+\beta+\gamma$

2. 解き方の手順

(1) $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$を求める。まず、$\tan(\alpha+\beta)$を求める。

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{2+5}{1-2\cdot5} = \frac{7}{1-10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$

次に、$\tan(\alpha+\beta+\gamma) = \tan((\alpha+\beta)+\gamma)$を求める。

$\tan((\alpha+\beta)+\gamma) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan\gamma}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma} = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1-(-\frac{7}{9}) \cdot 8} = \frac{-\frac{7}{9} + \frac{72}{9}}{1+\frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9+56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$

(2) $\alpha+\beta+\gamma$を求める。

$\tan(\alpha+\beta+\gamma) = 1$ であることと、$\alpha, \beta, \gamma$が鋭角であることから、

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \alpha+\beta+\gamma < \frac{3\pi}{2}$ である。

$\tan(\alpha+\beta+\gamma) = 1$ となる$\alpha+\beta+\gamma$は、$\alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{4}$ と $\alpha+\beta+\gamma = \frac{5\pi}{4}$ が考えられる。

ここで、$\tan\alpha = 2 > 0$, $\tan\beta = 5 > 0$, $\tan\gamma = 8 > 0$ より、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて第一象限の角である。

$\tan\alpha = 2 > 1$ より $\alpha > \frac{\pi}{4}$ である。また、$\tan\beta = 5 > 1$ より $\beta > \frac{\pi}{4}$ である。

$\tan(\alpha+\beta) = -\frac{7}{9} < 0$ なので、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi$ である。

従って、$\alpha+\beta+\gamma$ の範囲は $\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta+\gamma < \frac{3\pi}{2}$ である。

$\tan(\alpha+\beta+\gamma)=1$ より、$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan(\alpha+\beta+\gamma) = 1$

(2) $\alpha+\beta+\gamma = \frac{5\pi}{4}$