円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3, BC=5, CD=4, DA=3$である。$\angle B = \theta$とするとき、以下のものを求めよ。 (1) $\cos \theta$ の値 (2) 四角形ABCDの面積 $S$

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3, BC=5, CD=4, DA=3$である。$\angle B = \theta$とするとき、以下のものを求めよ。

(1) $\cos \theta$ の値

(2) 四角形ABCDの面積 $S$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos \theta = 34 - 30 \cos \theta$

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle D = 180^{\circ} - \theta$

$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると、

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos(180^{\circ} - \theta) = 25 - 24 (-\cos \theta) = 25 + 24 \cos \theta$

したがって、$34 - 30 \cos \theta = 25 + 24 \cos \theta$ より、

$54 \cos \theta = 9$

$\cos \theta = \frac{9}{54} = \frac{1}{6}$

(2) $\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$

四角形ABCDの面積 $S$ は、$\triangle ABC + \triangle ACD$ で求められる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \sin(180^{\circ} - \theta)$

$= \frac{15}{2} \sin \theta + 6 \sin \theta = \frac{27}{2} \sin \theta = \frac{27}{2} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{9 \sqrt{35}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{1}{6}$

(2) $S = \frac{9 \sqrt{35}}{4}$