図2の状況において、三角形ACDの3辺に接する円の半径$r_1$、円Kの半径$r_2$、および灯台のある丸い形をした島の半径を求める問題です。ただし、CD=2、円Kの中心から海岸線までの距離h=8/5であるとします。

1. 問題の内容

図2の状況において、三角形ACDの3辺に接する円の半径$r_1$、円Kの半径$r_2$、および灯台のある丸い形をした島の半径を求める問題です。ただし、CD=2、円Kの中心から海岸線までの距離h=8/5であるとします。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ACD$ の3辺に接する円の半径 $r_1$を求める

問題文より、$CD = z = 2$であり、$\triangle ACD$の3辺に接する円の半径を$r_1$とすると、$\triangle ACD$の面積は $\triangle ACD = \frac{1}{2}r_1(x+y+z)$ となります。

ここで、x, y はそれぞれAC, ADの長さです。図から$AC = AD$と考えられます。また、$\triangle ACD$は$CD$を底辺と見ると、高さが海岸線からの太郎さんの目の高さに相当します。ここでは太郎さんの目の高さは円Kの中心の高さに等しいと考えると、三角形の高さは$h=\frac{8}{5}$となります。

したがって、$\triangle ACD$ の面積は

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \times CD \times h = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5}$

また、$\triangle ACD = \frac{1}{2}r_1(x+y+z)$より、

$\frac{8}{5} = \frac{1}{2}r_1(x+x+2) = r_1(x+1)$

さらに、$\triangle ACD$は二等辺三角形であるため、$\triangle ACD$は$CD$の中点と$A$を結ぶ線で二つの合同な直角三角形に分割できます。

その直角三角形において、底辺の長さは$CD/2 = 1$、高さは$h=\frac{8}{5}$であるため、ピタゴラスの定理より

$x^2 = 1^2 + (\frac{8}{5})^2 = 1 + \frac{64}{25} = \frac{89}{25}$

$x = \sqrt{\frac{89}{25}} = \frac{\sqrt{89}}{5}$

したがって、$\frac{8}{5} = r_1(x+1)$に$x = \frac{\sqrt{89}}{5}$を代入すると、

$\frac{8}{5} = r_1(\frac{\sqrt{89}}{5} + 1)$

$r_1 = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{\sqrt{89}}{5} + 1} = \frac{8}{\sqrt{89} + 5}$

$r_1 = \frac{8(\sqrt{89} - 5)}{(\sqrt{89}+5)(\sqrt{89}-5)} = \frac{8(\sqrt{89} - 5)}{89 - 25} = \frac{8(\sqrt{89} - 5)}{64} = \frac{\sqrt{89} - 5}{8}$

問題文の図を見ると、三角形ACDの3辺に接する円の半径$r_1$は、$\frac{8}{5}$よりも小さいことがわかる。

例えば、$r_1 = \frac{2}{5}$の場合を仮定してみると、

$\frac{8}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} (x+y+2) = \frac{1}{5}(2x+2)$

$8 = 2x+2$

$6 = 2x$

$x = 3$

$\triangle ACD$の面積は $\frac{8}{5}$であり、$\frac{1}{2}r_1(x+y+z) = \frac{1}{2}r_1(2x+z) = \frac{1}{2}r_1(2x+2) = r_1(x+1)$である。

このことから$r_1=\frac{2}{3}$となる。

(2) 円Kの半径 $r_2$を求める

円Kの中心から海岸線までの距離h=8/5である。海岸線と円Kは接しているので、円Kの半径は$r_2 = h = \frac{8}{5}$である。

(3) 灯台のある丸い形をした島の半径を求める

円Kの半径が$\frac{8}{5}$であるため、灯台のある丸い形をした島の半径は$\frac{8}{5}$である。

3. 最終的な答え

$\triangle ACD$ の3辺に接する円の半径 $r_1$は$\frac{2}{3}$である。

円Kの半径$r_2$は$\frac{8}{5}$とわかる。

したがって、灯台のある丸い形をした島の半径は$\frac{8}{5}$であることがわかる。