半径 $r$ の円形の花壇の周りに幅 $a$ の道が付いている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円形の花壇の周りに幅 $a$ の道が付いている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

道の外側の円の半径は $r + a$ であるから、外側の円の面積は $\pi (r+a)^2$ となる。

花壇の面積は $\pi r^2$ なので、道の面積 $S$ は

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

となる。これを展開して整理する。

$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi a r + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi a r + \pi a^2$

次に、道の真ん中を通る円周の長さ $l$ を求める。

道の真ん中を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ であるから、その円周の長さ $l$ は

$l = 2 \pi (r + \frac{a}{2})$

となる。これを展開して整理する。

$l = 2 \pi r + \pi a$

最後に、$al$ を計算し、$S$ と等しいことを示す。

$al = a (2 \pi r + \pi a)$

$al = 2 \pi a r + \pi a^2$

これは $S$ と等しい。

3. 最終的な答え

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2 = 2 \pi a r + \pi a^2$

$l = 2 \pi (r + \frac{a}{2}) = 2 \pi r + \pi a$

$al = a (2 \pi r + \pi a) = 2 \pi a r + \pi a^2$

よって、$S = al$ が成り立つ。