(1) 一辺の長さが1の正四面体ABCDがあり、三角形BCDの重心をPとする。点Gは $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$ を満たす。 (ア) 線分AGの長さを求めよ。 (イ) 3点A, G, Pは同一直線上にあることを示せ。 (ウ) AG:GP を求めよ。 (エ) cos∠AGB の値を求めよ。 (2) 座標空間において、点A(1, 2, 0), B(2, 3, -1)をとり、2点A, Bを通る直線をlとする。実数tが定める点P(t, -t, 3t) に対して、直線l上に点Qを、線分PQと直線lが直交するようにとる。 (ア) 点Qの座標をtを用いて表せ。 (イ) tを変化させるとき、線分PQの長さが最小となるようなtの値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが1の正四面体ABCDがあり、三角形BCDの重心をPとする。点Gは $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$ を満たす。

(ア) 線分AGの長さを求めよ。

(イ) 3点A, G, Pは同一直線上にあることを示せ。

(ウ) AG:GP を求めよ。

(エ) cos∠AGB の値を求めよ。

(2) 座標空間において、点A(1, 2, 0), B(2, 3, -1)をとり、2点A, Bを通る直線をlとする。実数tが定める点P(t, -t, 3t) に対して、直線l上に点Qを、線分PQと直線lが直交するようにとる。

(ア) 点Qの座標をtを用いて表せ。

(イ) tを変化させるとき、線分PQの長さが最小となるようなtの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (ア)

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$ より、

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{16} |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}|^2$

$= \frac{1}{16} (|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB})$

正四面体なので、$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 = 1$

また、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 60^\circ = 1\cdot 1\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

同様に、$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}$

よって、$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{16} (1+1+1+2\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} (3+3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

したがって、$AG = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(1) (イ)

$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3}$

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

よって、$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}$

したがって、3点A, G, Pは同一直線上にある。

(1) (ウ)

$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}$より、$AG : GP = 3 : 1$

(1) (エ)

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4} - \overrightarrow{AB} = \frac{-\overrightarrow{3AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{3}{8}$

$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{1}{16} (9|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 -6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} - 6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD})$

$= \frac{1}{16} (9+1+1 - 6\cdot\frac{1}{2} - 6\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} (11-3-3+1) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BG} = \frac{1}{16} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \cdot (-3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$

$= \frac{1}{16} (-3|\overrightarrow{AB}|^2 + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - 3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + |\overrightarrow{AC}|^2 + \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} - 3\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AD}|^2)$

$= \frac{1}{16} (-3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{16} (-1-1-1+1+1) = -\frac{1}{16}$

$\cos \angle AGB = \frac{\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BG}}{|\overrightarrow{AG}||\overrightarrow{BG}|} = \frac{-\frac{1}{16}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}} = \frac{-\frac{1}{16}}{\frac{3}{8}} = -\frac{1}{16}\cdot\frac{8}{3} = -\frac{1}{6}$

(2) (ア)

直線lの方向ベクトルは$\overrightarrow{AB} = (2-1, 3-2, -1-0) = (1, 1, -1)$

直線l上の点Qは、Q = A + s$\overrightarrow{AB}$ = (1+s, 2+s, -s) と表せる。

$\overrightarrow{PQ} = (1+s-t, 2+s+t, -s-3t)$

$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$

$(1+s-t)(1) + (2+s+t)(1) + (-s-3t)(-1) = 0$

$1+s-t+2+s+t+s+3t = 0$

$3s+3+3t = 0$

$s = -1-t$

よって、Q = (1+(-1-t), 2+(-1-t), -(-1-t)) = (-t, 1-t, 1+t)

(2) (イ)

$PQ^2 = (t-(-t))^2 + (-t-(1-t))^2 + (3t-(1+t))^2$

$= (2t)^2 + (-1)^2 + (2t-1)^2$

$= 4t^2 + 1 + 4t^2 -4t + 1 = 8t^2 -4t + 2$

$= 8(t^2 - \frac{1}{2}t) + 2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 - 8\cdot\frac{1}{16} + 2 = 8(t-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} + 2 = 8(t-\frac{1}{4})^2 + \frac{3}{2}$

PQの長さが最小となるのは、$t = \frac{1}{4}$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) (ア) $\frac{\sqrt{6}}{4}$

(1) (イ) 3点A, G, Pは同一直線上にある。（証明済み）

(1) (ウ) 3:1

(1) (エ) $-\frac{1}{6}$

(2) (ア) (-t, 1-t, 1+t)

(2) (イ) $\frac{1}{4}$