問題は、二等辺三角形ABCにおいて、AB上に点Dをとり、Dを通りBCに平行な直線とACとの交点をEとする。BCの中点をFとし、点D,Fと点E,Fを結ぶ。 (1) △BFDと△CFEが合同であることを証明する過程の空欄を埋める。 (2) AB=12cm, AD=3cmのとき、四角形ABFEの面積が△ABCの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

問題は、二等辺三角形ABCにおいて、AB上に点Dをとり、Dを通りBCに平行な直線とACとの交点をEとする。BCの中点をFとし、点D,Fと点E,Fを結ぶ。

(1) △BFDと△CFEが合同であることを証明する過程の空欄を埋める。

(2) AB=12cm, AD=3cmのとき、四角形ABFEの面積が△ABCの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 合同の証明の空欄を埋める。

ア: FはBCの中点なので、$BF = CF$

イ: △ABCは二等辺三角形なので、$\angle ABF = \angle ACF$

ウ: $BD = AB - AD$、 $CE = AC - AE$であり、$AB=AC$, $AD=AE$なので、$BD = CE$

エ: △BFDと△CFEにおいて、$BF=CF$, $\angle ABF = \angle ACF$, $BD=CE$より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$△BFD \equiv △CFE$

(2) 四角形ABFEの面積が△ABCの面積の何倍かを求める。

$AB = 12cm, AD = 3cm$なので、$BD = AB - AD = 12 - 3 = 9cm$

△ADEと△ABCは相似であり、相似比は$AD:AB=3:12=1:4$

したがって、面積比は$1^2:4^2=1:16$

$\triangle ADE = \frac{1}{16} \triangle ABC$

また、$BD:AB = 9:12=3:4$なので、$\triangle BFD = \triangle CFE$であり、$BF=CF$

$\triangle BFD = \frac{1}{2} \cdot BF \cdot BD \cdot \sin B$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin B$

$\triangle BFD = \frac{BD}{AB} \cdot \frac{BF}{BC} \triangle ABC= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{3}{8} \triangle ABC$

したがって、四角形ABFEの面積は、

$\triangle ABC - \triangle BFD - \triangle CFE = \triangle ABC - 2 \triangle BFD$

$= \triangle ABC - 2 \cdot \frac{3}{8} \triangle ABC = \triangle ABC - \frac{3}{4} \triangle ABC = \frac{1}{4} \triangle ABC$

$\triangle ABC - (\triangle BFD + \triangle CFE) - \triangle ADE$

$\triangle ADE = \frac{1}{16}\triangle ABC$

$\triangle BFD \cong \triangle CFE$より、$\triangle BFD$の面積は$\frac{1}{2}\triangle FBC \cdot \frac{BD}{AB} = \frac{3}{8} \triangle ABC$

$\triangle CFE$の面積も同様に$\frac{3}{8}\triangle ABC$

四角形ABFEの面積は

$\triangle ABC - \frac{1}{16}\triangle ABC - 2 \cdot \frac{3}{8} \triangle ABC$

$= \triangle ABC(1-\frac{1}{16}-\frac{3}{4})=\frac{16-1-12}{16}\triangle ABC$

$= \frac{3}{16}\triangle ABC$

3. 最終的な答え

(1) ア: $BF=CF$、イ: $\angle ABF = \angle ACF$、ウ: $BD=CE$、エ: 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

(2) $\frac{3}{16}$倍