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三角形ABCにおいて、頂点Bから辺ACに垂線BHを下ろしたときのBHの長さを、三角形AHBと三角形CHBでそれぞれ求め、正弦定理を導く過程の空欄を埋める問題です。

幾何学三角形正弦定理三角比
2025/6/22

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、頂点Bから辺ACに垂線BHを下ろしたときのBHの長さを、三角形AHBと三角形CHBでそれぞれ求め、正弦定理を導く過程の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形AHBについて考えます。∠BAH=A\angle BAH = A なので、sin⁡A=BHc\sin A = \frac{BH}{c} が成り立ちます。したがって、BH=csin⁡ABH = c \sin A となります。
次に、BHの長さを表す式である BH=csin⁡ABH = c \sin A と BH=asin⁡CBH = a \sin C より、csin⁡A=asin⁡Cc \sin A = a \sin C が成り立ちます。
最後に、この式の両辺を sin⁡A×sin⁡C\sin A \times \sin C で割ると、
csin⁡Asin⁡Asin⁡C=asin⁡Csin⁡Asin⁡C\frac{c \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{a \sin C}{\sin A \sin C}
csin⁡C=asin⁡A\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}
が得られます。

3. 最終的な答え

ア: csin⁡Ac \sin A
イ: cc
ウ: aa

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