問題は、2つの三角形における正弦定理を用いて、指定された辺の長さを求める問題です。(1)では辺aの長さを、(2)では指定された辺の長さを求めます。

1. 問題の内容

問題は、2つの三角形における正弦定理を用いて、指定された辺の長さを求める問題です。(1)では辺aの長さを、(2)では指定された辺の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCにおいて、正弦定理より、

$\frac{1}{\sin{30^\circ}} = \frac{a}{\sin{45^\circ}}$

よって、

$a = \frac{\sin{45^\circ}}{\sin{30^\circ}}$

$\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 、 $\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$　なので、

$a = \frac{1}{\sqrt{2}} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(2) 三角形ABCにおいて、正弦定理より、

$\frac{\text{カ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{2}{\sin{45^\circ}}$

よって、

$\text{カ} = \frac{2 \times \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}}$

$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$　なので、

$\text{カ} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6}$