半径が3、弧の長さが4である扇形について、(1)中心角の大きさを求め、(2)面積を求める。また、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin\theta \cos\theta$、(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$、(3) $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径が3、弧の長さが4である扇形について、(1)中心角の大きさを求め、(2)面積を求める。また、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin\theta \cos\theta$、(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$、(3) $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 扇形の弧の長さ $l$ は、半径を $r$、中心角を $\theta$ (ラジアン)とすると、$l = r\theta$ で表される。

したがって、 $4 = 3\theta$ となり、$\theta = \frac{4}{3}$ ラジアンである。

(2) 扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で表される。

したがって、$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6$ である。

問題2

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$

(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta) = \frac{2}{3}(1 - (-\frac{5}{18})) = \frac{2}{3}(1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{23}{18}) = \frac{23}{27}$

(3) $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - 2(-\frac{5}{18}) = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

$\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{14}{9}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 6

問題2

(1) $-\frac{5}{18}$

(2) $\frac{23}{27}$

(3) $\pm\frac{\sqrt{14}}{3}$