円に内接する七角形について、以下の問いに答える。 (1) 対角線は何本引けるか。 (2) 七角形の頂点を3つの頂点とする三角形はいくつできるか。 (3) (2)で求めた三角形のうち、七角形と辺を共有しない三角形はいくつあるか。

1. 問題の内容

円に内接する七角形について、以下の問いに答える。

(1) 対角線は何本引けるか。

(2) 七角形の頂点を3つの頂点とする三角形はいくつできるか。

(3) (2)で求めた三角形のうち、七角形と辺を共有しない三角形はいくつあるか。

2. 解き方の手順

(1) 七角形の頂点は7個ある。任意の2つの頂点を結ぶ線分の総数は、${}_7 C_2$ で計算できる。ただし、この中には七角形の辺も含まれるため、辺の数を引く必要がある。七角形の辺の数は7である。

${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

対角線の数は $21 - 7 = 14$ 本。

(2) 七角形の頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせの数は、${}_7 C_3$ で計算できる。

${}_7 C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

三角形は35個できる。

(3) 七角形と辺を共有しない三角形の数を求める。まず、1つの辺を共有する三角形の数を考える。七角形の各辺に対して、その両端の頂点以外の5つの頂点から1つを選ぶことで三角形が作れる。したがって、1つの辺を共有する三角形は $7 \times 5 = 35$ 個ある。しかし、それぞれの辺を共有する三角形の数え方では、隣り合う辺を共有する三角形を2回数えている場合があるので注意が必要である。

次に、2つの辺を共有する三角形の数を考える。隣り合う2辺を共有する三角形は七角形の頂点の数だけ存在するので、7個ある。

七角形の頂点から3つを選んでできる三角形の総数は35個であった。

そのうち、辺を共有しない三角形の数を求める。

1辺を共有する三角形は、各辺について5つずつ考えられる。

ただし、この中には2辺を共有する三角形も含まれる。

2辺を共有する三角形は7つ。

1辺のみ共有する三角形は、35 - 2*7 = 21個（各三角形は2回数えられているため、補正が必要）

したがって、1つの辺を共有する三角形の数は14個とわかる。

共有する辺が1つの三角形は $7 \times 4 = 28$ （両端を除く残りの４点から選ぶ）。ただし、それぞれの三角形は2回数えられるので、 $28/2$とすることはできない。（理由は、三角形は必ず3点あり、一つの三角形に対して最大で２回数えることになるため）

1つも辺を共有しない三角形は、全ての三角形の数から、１つの辺を共有する三角形の数、及び2つの辺を共有する三角形の数を引いたものになる。

35 - 14 - 7 = 14

しかし、この考え方は誤りがある。

別の方法として、辺を共有する三角形の数を直接数える方法を考える。

七角形の辺を1つ固定し、その両端の頂点以外の5つの頂点から1つ選ぶと、1つの辺を共有する三角形が得られる。このような三角形は、七角形の各辺に対して5つずつ存在する。したがって、1つの辺を共有する三角形は $7 \times 5 = 35$ 個ある。しかし、それぞれの辺を共有する三角形の数え方では、隣り合う辺を共有する三角形を2回数えている場合があるので注意が必要である。

2つの辺を共有する三角形は、隣り合う2つの辺を共有するので、七角形の頂点の数だけ存在し、7個である。

1つの辺を共有する三角形を正確に数えるには、隣り合う頂点を選択しないようにする。

ある辺を固定すると、その両隣の頂点を含む3つの頂点は使えない。

したがって、残りの4つから頂点を選ぶことになる。

よって、7 * 4 = 28個となる。しかし、この中には2つの辺を共有する三角形は含まれていない。

2つの辺を共有する三角形はすでに数え上げたので、重複はない。

辺を共有しない三角形の数は、${}_7 C_3 - (7 \times 4 + 7) = 35 - 28 - 7 = 0$。

これは誤り。

${}_7C_3 - 7(7-4)-7 =35-21-7=7$

3. 最終的な答え

(1) 14本

(2) 35個

(3) 1個