半径 $r$ mの円形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の土地の周りに幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

- 道の面積 $S$ を求める。これは、半径 $r+a$ の円の面積から半径 $r$ の円の面積を引いたものである。

- 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。これは、半径 $r + \frac{a}{2}$ の円周の長さである。

- $S$ と $al$ をそれぞれ計算し、それらが等しいことを示す。

まず、道の面積 $S$ を計算する。

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ar + \pi a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を計算する。

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = 2\pi r + \pi a$

$al$ を計算する。

$al = a(2\pi r + \pi a)$

$al = 2\pi ar + \pi a^2$

したがって、$S = 2\pi ar + \pi a^2$ であり、$al = 2\pi ar + \pi a^2$ であるから、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ が成り立つ。