ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$、$\vec{b} = (3, -1)$、$\vec{x} = (p, q)$ が与えられている。$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行であり、$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$、$\vec{b} = (3, -1)$、$\vec{x} = (p, q)$ が与えられている。$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行であり、$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{b} - \vec{a}$ を計算します。

$$\vec{b} - \vec{a} = (3 - 4, -1 - 2) = (-1, -3)$$

$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行なので、ある実数 $k$ を用いて $\vec{x} = k (\vec{b} - \vec{a})$ と表せます。

$$\vec{x} = (p, q) = k(-1, -3) = (-k, -3k)$$

したがって、$p = -k$、$q = -3k$ が成り立ちます。

次に、$\vec{x} - \vec{b}$ を計算します。

$$\vec{x} - \vec{b} = (p - 3, q + 1)$$

$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直なので、内積 $(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ が成り立ちます。

$$(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = (p - 3, q + 1) \cdot (4, 2) = 4(p - 3) + 2(q + 1) = 0$$

$4(p - 3) + 2(q + 1) = 4p - 12 + 2q + 2 = 4p + 2q - 10 = 0$

$4p + 2q = 10$

$2p + q = 5$

$p = -k$、$q = -3k$ を $2p + q = 5$ に代入します。

$2(-k) + (-3k) = 5$

$-2k - 3k = 5$

$-5k = 5$

$k = -1$

$p = -k = -(-1) = 1$

$q = -3k = -3(-1) = 3$

3. 最終的な答え

$p = 1$, $q = 3$