正方形と円が組み合わされた図形について、以下の問いに答えます。 (1) 正方形の1辺の長さが12cmのとき、図ア、イ、ウの影をつけた部分の面積をそれぞれ求め、言えることを述べます。 (2) 正方形の1辺の長さを $a$ cmとして、図ア、イ、ウの影をつけた部分の面積をそれぞれ求め、(1)で調べたことがいつでも成り立つことを調べます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

正方形と円が組み合わされた図形について、以下の問いに答えます。

(1) 正方形の1辺の長さが12cmのとき、図ア、イ、ウの影をつけた部分の面積をそれぞれ求め、言えることを述べます。

(2) 正方形の1辺の長さを $a$ cmとして、図ア、イ、ウの影をつけた部分の面積をそれぞれ求め、(1)で調べたことがいつでも成り立つことを調べます。

2. 解き方の手順

(1)

ア：正方形の面積から円の面積を引きます。正方形の1辺は12cmなので、面積は $12 \times 12 = 144$ 平方cmです。円の半径は6cmなので、面積は $\pi \times 6^2 = 36\pi$ 平方cmです。したがって、影をつけた部分の面積は $144 - 36\pi$ 平方cmです。

イ：4つの円の面積の合計を求めます。円の半径は3cmなので、1つの円の面積は $\pi \times 3^2 = 9\pi$ 平方cmです。4つの円の面積の合計は $4 \times 9\pi = 36\pi$ 平方cmです。

ウ：正方形の面積から9つの円の面積の合計を引きます。正方形の1辺は12cmなので、面積は $12 \times 12 = 144$ 平方cmです。円の半径は2cmなので、1つの円の面積は $\pi \times 2^2 = 4\pi$ 平方cmです。9つの円の面積の合計は $9 \times 4\pi = 36\pi$ 平方cmです。したがって、影をつけた部分の面積は $144 - 36\pi$ 平方cmです。

(2)

ア：正方形の面積から円の面積を引きます。正方形の1辺は $a$ cmなので、面積は $a^2$ 平方cmです。円の半径は $a/2$ cmなので、面積は $\pi \times (a/2)^2 = \pi a^2 / 4$ 平方cmです。したがって、影をつけた部分の面積は $a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 (1 - \frac{\pi}{4})$ 平方cmです。

イ：4つの円の面積の合計を求めます。正方形の1辺は $a$ cmなので、円の半径は $a/4$ cmです。1つの円の面積は $\pi \times (a/4)^2 = \pi a^2 / 16$ 平方cmです。4つの円の面積の合計は $4 \times \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$ 平方cmです。

ウ：正方形の面積から9つの円の面積の合計を引きます。正方形の1辺は $a$ cmなので、面積は $a^2$ 平方cmです。円の半径は $a/6$ cmなので、1つの円の面積は $\pi \times (a/6)^2 = \pi a^2 / 36$ 平方cmです。9つの円の面積の合計は $9 \times \frac{\pi a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{4}$ 平方cmです。したがって、影をつけた部分の面積は $a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 (1 - \frac{\pi}{4})$ 平方cmです。

3. 最終的な答え

(1)

ア：$144 - 36\pi$ 平方cm

イ：$36\pi$ 平方cm

ウ：$144 - 36\pi$ 平方cm

言えること：図アと図ウの影をつけた部分の面積は等しい。

(2)

ア：$a^2 (1 - \frac{\pi}{4})$ 平方cm

イ：$\frac{\pi a^2}{4}$ 平方cm

ウ：$a^2 (1 - \frac{\pi}{4})$ 平方cm

言えること：正方形の一辺の長さを $a$ cm とした場合でも、図アと図ウの影をつけた部分の面積は等しい。また、正方形の面積に対する影をつけた部分の面積の割合は、正方形のサイズによらず一定である。